Lineární algebra I (ZS 11/12)

Přednášející Jiří Matoušek, paralelka "Y"

„Po tři léta se věnovat studiu a nemyslet přitom na budoucí požitky – takoví se jen nesnadno hledají.“
— Mistr Kong (Konfucius, 551-479 př.n.l.), překlad Jaromír Vochala

Vítejte na stránce přednášky z Lineární algebry.

S omluvou oznamuju změnu termínu zkoušky ze 7. února na 10. února. Pokud by tím někomu vznikly potíže, prosím ozvěte se.

Přednáška se koná se v pondělí od 14:00 v S5.

Druhé paralelce přednáší Milan Hladík. Normální cvičení k této paralelce vede Jan Palata. Pokročilé cvičení se koná čtvrtky 14:00-15:30 v posluchárně S7, vedou ho Dušan Knop a Tomáš Vyskočil a je určeno studentům se zájmem o matematiku a snahou naučit se věci pořádně, pro něž by normální cvičení mohlo být zdlouhavé.

Související předměty

Těm, které matematika baví, doporučuji Úvod do řešení problémů kombinatorických, matematických i jiných (NDMI050). Těm, kdo si nejsou moc jisti v matematickém vyjadřování a značení, není jim jasný rozdíl mezi definicí a větou a pod., bych poradil předmět Matematické dovednosti (NMAI069).

Literatura

Podrobný sylabus (zahrnuje také přednášku Linearni algebra II), dvě malé stránky na stranu A4. V sylabu rozdávaném na přednášce naneštěstí přežila chyba v axiomu (E) grupy, kde má být a.e=e.a=a (a ne =e). Také je tam chybně formulován axiom axiom (NG) v definici tělesa (chyba byla i na přednášce): je potřeba říct, že operace násobení je komutativní a K\{0} tvoří grupu.
Předběžná verze učebního textu M. Hladíka.
Knihy: následující měly by být dostupné v půjčovně skript:
- Jindřich Bečvář: Lineární algebra, Matfyzpress, 2. vydani, Praha 2002.
- Jiří Rohn: Lineární algebra a optimalizace, Karolinum, Praha 2004.
- Ladislav Bican, Lineární algebra a geometrie. Academia, Praha 2002.
Sbírka řešených příkladů
stránky M. Čadka (skripta, sbírky příkladů)
Zde anglicky psaná učebnice J. Hefferona, s mnoha aplikacemi. Pojetí je trochu odlišné od přednášky (speciálně nebosahuje diskusi grup a některých dalších věcí, které probíráme), ale jako doplňkový text pro lepší porozumění může být užitečná.
Tomu, kdo by se chtěl naučit o lineární algebře víc a porozumět dalším souvislostem, se samozřejmě nabízí spousta možností. Jedna volně dostupná, nedlouhá a elegantní kniha, napsaná teoretickým fyzikem, je tady, nicméně pozor na občasné nepřesnosti.

O zkoušce

Zkouška bude ústní nebo písemná (jak který termín). Ústní zkouška začíná zhruba půlhodinovou písemnou přípravou. Písemna zkouška bude trvat 90-120 minut a po opravení písemek může v případě potřeby následovat ještě ústní dozkoušení.

U ústní i písemné zkoušky budou otázky jak teoretické (definice, tvrzení a důkazy z přednášky), tak počítací (typu lehčích a středně těžkých příkladů ze cvičení). Studijní materiály jako poznámky, učebnice a taháky, kalkulačky, počítače a pod. nejsou u zkoušky povoleny. Očekává se, že definice a tvrzení budete umět formulovat přesně, se všemi předpoklady (a to i na známku "dobře"). Důkazy se zkoušejí také. Neučte se jen čtením poznámek, zkuste si pak důležité věci napsat na papír zpaměti.

Pro rozsah zkoušené látky je závazný seznam na této webové stránce (který aktualizuji průběžně s postupem přednášky). Neznalost („vynechání“) některého tématu může být dostatečným důvodem pro nesložení zkoušky, proto se radši podívejte na všechno aspoň trochu.

Předtermín

Čtvrtek 12.ledna 2012 od 2 hodin. Sraz před posluchárnou S10. Od studentů, kteří se přihlásí na předtermín, očekávám dobré zvládnutí látky. Zápočet u předtermínu nutný není (zkoušku ale zapíšu, až když zápočet mít budete, aspoň v SIS). u dalších termínů potřeba je.

Další termíny

Čtvrtky 19.ledna a 26.ledna, pátek 10.února, vždy od 2 hodin. Sraz před posluchárnou S5.

Zajímají mě obecné i konkrétní připomínky k přednášce, náměty na zlepšení v budoucích letech a pod. Doporučuji vyplnit studentskou anketu (i pokud jste s přednáškami spokojeni...)!

Probraná látka

4.10. Soustavy lineárních rovnic - úvod (sylabus body 1-5).
10.10.Elementární úpravy, Gaussova eliminace (body 6-10).
17.10.Poznámka: Gaussova-Jordanova eliminace. Prozatímní definice hodnosti matice. Frobeniova věta. Špatně podmíněné matice. Operace s maticemi. Věta o inverzní matici, z důkazu zatím jen lemma. (Body 11-23.)
31.10. Dokončení o inverzních maticích. Úvod do grup. (Body 24-37.)
7.11. Grupy, zvláště permutační (body 24-53).
14.11. Tělesa (body 54-60). Oprava k přednášce: v axiomu tělesa (NG) je potřeba říct, že operace násobení je komutativní (na celém K, nestačí jen na K\{0}).
21.11. Úvod do vektorových prostorů (body 60-69, zatím bez důkazu tvrzení popisujícího span(X)). Navíc proti podrobnému sylabu Malá Fermatova věta: Je-li p prvočíslo, a a celé číslo, pak a umocněno na p-tou je kongruentní a modulo p. Důkaz: v tělese Z_p platí, že součin 1x2x...x(p-1) je roven a(2a)(3a)...((p-1)a), protože druhý vznikne přerovnáním prvního; tuto rovnost vykrátit (p-1)!.
28.11. Lineární závislost a báze (body 69-76). Starořecký důkaz iracionality odmocniny ze dvou.
1.12. Steinitzova věta a důsledky, hodnost matice (body 77-87).
5.12. Věty o řádkovém a sloupcovém prostoru matice a o jádru matice. Úvod do lineárních zobrazení. (Body 88-96.)
12.12. Vyjádření lineárního zobrazení maticí; skládání lineárních zobrazení odpovídá násobení matic. (Body 97-104.)
19.12. Isomorfismus vektorových prostorů. Každý n-dimenzionální vektorový prostor nad K je isomorfní K^n. Afinní podprostor, některé vlastnosti.Různé pohledy na řešení soustav lineárních rovnic. (Dokončen celý minimální sylabus.)
9.1.2012Rychlý výpočet Fibonacciho čísel (miniatura 1 ve spisku Šestnáct miniatur). Samoopravné kódy, speciálně důkaz toho, že zobecněný Hammingův kód opravuje jednu chyby (miniatura 5).