Informace k prednasce "Linearni algebra I" (zimni semestr 2000/2001; Jiri Matousek, KAM)

Nektere prameny a odkazy

• Budeme postupovat vzasade podle casti skript A. Pultr: Matematicka analyza I, MATFYZPRESS 1995
• Zcasti se tez budeme inspirovat ucebnici G. Fischer: Lineare Algebra (11.Auflage, Vieweg Studium, Braunschweig/Wiesbaden, 1997), podle niz se vetsinou prednasi linearni algebra na nemeckych universitach
• Zasobarnou cvicnych prikladu jsou (starsi) skripta L. Bican: Ulohy z linearni algebry; pozor na misty trochu jine znaceni. Nektere konkretni doporucene ulohy a typy prikladu budou uvadeny na teto strance.
• Velmi pekna knizka o teorii grup je J. F. Humphreys: A Course in Group Theory, Oxford University Press 1996
• Nektere aplikace linearni algebry v kombinatorice, jichz se v prednasce tez dotkneme, jakoz i velmi strucne shrnuti latky linearni algebry v dodatku, lze najit v knizce J. Matousek, J. Nesetril: Kapitoly z diskretni matematiky, 2. vydani, Nakladatelstvi Karolinum, Praha 2000
• Velmi zajimava skripta, nicmene psana pro fyziky s ponekud jinym zpusobem vykladu nez je obvykly v matematice a informatice, jsou L. Motl, M. Zahradnik: Pestujeme linearni algebru, MATFYZPRESS 1995.
• Ceske texty J. Tumy z  paralelni prednasky na MFF pro informatiky zde (postscript, dvi).
• a tuhle je spousta odkazu na vse mozne souvisejici s linearni algebrou a jeji vyukou.

Typograficke konvence

• x_1 znaci x s dolnim indexem 1. a_{ij} znamena a s dolnimi indexy i a j. x^2 je x na druhou (tedy s exponentem 2).
• x \in X znamena "x nalezi do X", tedy "\in" nahrazuje znak pro nalezeni do mnoziny (stylizovane epsilon).
• V prednasce a v literature se mnozina vsech realnych cisel znaci pismenem R specialniho typu (na prednasce s dvojitou svislou nozkou). Na teto strance bude pouze obycejne R. Podobne nektera recka pismenka zde budou nahrazena latinskymi.

Prednaska 2/X/2000

Linearni rovnice a hlavne soustavy linearnich rovnic

• Priklad: prolozeni grafu kvadraticke funkce (tvaru y=ax^2+bx+c) danymi tremi body vede na soustavu 3 linearnich rovnic o 3 neznamych.
• Rovnice a_1 x_1 + a_2 x_2 = b (1 rovnice, 2 nezname): mnozina reseni ^R (R s hackem):

^R = { (x_1,x_2) \in R^2 : a_1 x_1 + a_2 x_2 = b }.
Geometricky odpovida mnozina reseni primce v rovine (pokud a_1 a a_2 nejsou obe rovna 0). Jiny zpusob vyjadreni teze mnoziny (parametricky zapis):
^R = { u + t v : t\in R}
kde u a v jsou vhodne vektory z R^2.
Doporuceny priklad: Pro nejaka konkretni cisla a_1, a_2, b najit vhodne u a v a dokazat, ze oba zapisy mnoziny ^R davaji tutez mnozinu. Pripadne totez pro obecna a_1,a_2,b.
• Podobne: mnozina reseni jedne linearni rovnice o s neznamych tvaru a_1 x_1 + a_2 x_2 + a_3 x_3 geometricky odpovida rovine v R^3 (pokud a_1,a_2,a_3 nejsou zaroven rovna 0). Lze ji zapsat v parametrickem tvaru

{ u + s v + t w : s,t\in R}
pro vhodne vektory u,v,w (ukazeme pozdeji z obecnejsich vysledku).
• Co zde rozumime vektory? Zatim definujeme aritmeticky vektorovy prostor dimenze n nad R, oznacovany R^n (v predchzim jsme uvazovali pripady n=2 a n=3). Jeho prvky, zvane vektory, jsou usporadane n-tice realnych cisel tvaru (a_1,a_2,...,a_n). Na nich jsou definovany operace scitani a nasobeni realnym cislem (oboji po slozkach).
• Obecne uvazujeme soustavu m linearnich rovnic o n neznamych tvaru

a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + ... + a_{1n} x_n = b_1
a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + ... + a_{2n} x_n = b_2
.................................................
a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + ... + a_{mn} x_n = b_m
(prvni index je vzdy pro radek !!). Prehlednejsi zapis teze soustavy:
A x = b,
kde
• A je matice soustavy (matice s m radky a n sloupci, neboli matice typu m x n, kde v i-tem radku a j-tem sloupci je a_{ij}),
• b je sloupcovy vektor pravych stran, tj. matice typu m x 1,
• x je sloupcovy vektor neznamych, tj. matice typu n x 1.
Zapis A x na leve strane je soucin matic. Odpovida obecne definici soucinu matic, ktera bude pozdeji. ^R(A,b) znaci mnozinu vsech reseni soustavy Ax=b (je to podmnozina R^n).

Prednaska 9/X/2000

Gaussova eliminacni metoda

• Elementarni radkove upravy matice:

(a) zamena dvou radku,
(b) pricteni t-nasobku j-teho radku k i-temu radku, i ruzne od j,
(c) vynasobeni i-teho radku nenulovym cislem t.
• Rozsirena matice soustavy Ax=b je matice (A|b), t.j. matice A k niz je zprava pripsan sloupec b.

Tvrzeni: elementarni radkove upravy rozsirene matice nemeni mnozinu reseni soustavy.
• (Radkovy) schodovy tvar matice A: existuje cislo r, 0<=r<=m, tak ze radky r+1..m jsou nulove a je-li j(i)= min{j: a_{ij} je nenulove}, pak j(1) < j(2) < ... < j(r).
• Algoritmus pro upravu dane matice A na schodovy tvar elementarnimi radkovymi upravami.
• Jak vypadaji reseni soustavy, jejiz matice je ve schodovem tvaru (po prerovnani sloupcu tak ze j(i)=i, i=1,2,...,r): jestlize b_{r+1},...,b_m nejsou vsechna 0 pak zadne reseni, jinak vsechna reseni se dostanou tak, ze x_{r+1},...,x_m se zvoli libovolne a x_r,x_{r-1},...,x_1 se dopocitaji (jednoznacne).
• Poznamky: Pocet nenulovych radku r schodoveho tvaru matice se nazyva hodnost (cizim slovem rank) matice; pozdeji budeme mit lepsi definice hodnosti.

Operace s maticemi, specialni typy matic

• Soucet matic (stejneho typu!) po slozkach, nasobeni realnym cislem po slozkach.
• Transponovana matice A^T.
• Jednotkova matice E_n (jednicky v pozicich (i,i), i=1,2,..., nuly vsude jinde).
• Nasobeni matic: Nasobit se smi matice A typu (m x n) matici B typu (n x p), dostaneme matici C typu (m x p) kde

c_{ij} = a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{in}b_{nj}.
Overit: A E_n = E_m A = A.

Prednaska 15/X/2000

• Tvrzeni: Nasobeni matic je asociativni.
• Fibonacciho cisla: F_0=0, F_1=1, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n; rychly vypocet pomoci maticoveho nasobeni.

Zakladni algebraicke struktury: grupa, okruh, teleso

• Binarni operace na mnozine X (zobrazeni X x X -> X). Priklady (odcitani neni binarni operace na priroz. cislech). Unarni operace (funkce X -> X), nularni operace (konstanta). "Dobre" vlastnosti: asociativita (a*b)*c=a*(b*c), komutativita a*b=b*a.
• Grupa: Mnozina G s jednou asociativni binarni operaci *, existuje jednotkovy prvek e splnujici a*e=e*a=a pro vsechna a\in G, a pro kazde a\in G existuje inverzni prvek a^{-1} splnujici a^{-1}*a=a*a^{-1}=e.
• Priklady: (R,+), (Z,+) (Z=cela cisla), kladna racionalni cisla s nasobenim. To jsou komutativni (=abelovske) grupy, v nich se zpravidla operace znaci +, jednotkovy prvek se nazyve neutralni prvek a znaci se 0, inverzni prvek se znaci -a. Priklad nekomutativni grupy (vice pozdeji): otaceni kolem pocatku v R^3.
• Okruh: (X,+,.) (2 binarni operace), (X,+) je abelovska grupa s neutralnim prvkem 0, . je asociativni operace (ne nutne komutativni), plati distributivita a.(b+c)=(a.b)+(a.c), (a+b).c=(a.c)+(b.c).
• Priklady: (Z,+,.), (R,+,.), (R[x],+,.) (vsechny polynomy s realnymi koeficienty), vsechny funkce [0,1]->R se scitanim a nasobenim hodnot v kazdem bode, Z_n (zbytkove tridy modulo n se scitanim a nasobenim modulo n; "spravnejsi" znaceni Z/nZ).
• Teleso (K,+,.,0,1), (K,+,.) je komutativni okruh s neutralnim prvkem 0 a jednotkovym prvkem 1 (pro nasobeni), (K\{0},.) je abelovska grupa. (Nekdy se uvazuji tez telesa s nekomutativnim nasobenim, my je ale uvazovat nebudeme.)

Prednaska 23/X/2000

• Priklady teles: realna cisla, racionalni cisla, komplexni cisla, Z_2 (dvouprvkove); exotictejsi: racionalni funkce p(x)/q(x).
• Tvrzeni: Z_n (zbytkove tridy modulo n s operacemi scitani a nasobeni modulo n) je teleso prave kdyz n je prvocislo. Princip dukazu: Je-li n slozene, tvaru n=kl, pak zbytkove tridy k a l jsou delitele nuly, tj. jejich soucin je 0 v Z_n. Je-li n prvocislo, staci ukazat, ze pro kazde nenulove l\in Z_n je zobrazeni "nasobeni l" Z_n-{0} -> Z_n-{0} surjektivni (na). Trik: overit injektivitu (prostost).
• Oznaceni: GF(q) konecne teleso s q prvky (Galois Field) pokud existuje; existuje prave kdyz q je mocnina prvocisla, a pak existuje prave 1 (bez dukazu).

Vektorove prostory

• Definice: Vektorovy prostor nad telesem K je tvaru (V,+,.,0) , kde V je mnozina (prvky=vektory), (V,+) je abelovska grupa s neutralnim prvkem 0, a .:KxV->V je vnejsi nasobeni (soucin zapisujeme nekdy bez ".") splnujici nasledujici pozadavky: 1v=v, a(bv)=(ab)v ("asociativita"), (a+b)v=av+bv, a(u+v)=au+av (distributivni zakony). (Definici s 8 axiomy bez pouziti pojmu grupa viz skripta [Pultr].)
• Priklady:
• {0} (trivialni vekt. prostor)
• K^n (aritmeticky vektorovy prostor dimenze n nad K)
• R[x] (vsechny polynomy s realnymi koeficienty)
• polynomy stupne <=2 s realnymi koeficienty
• R (realna cisla) jako vektorovy prostor nad Q (rac. cisly)
• mnozina vsech podmnozin mnoziny X jako vektorovy prostor nad GF(2) (scitani = symetricka diference mnozin)

Prednaska 30/X/2000

• Tvrzenicka o vektorovych prostorech: 0x=0, (-1)x=-x,ax=0 prave kdyz a=0 nebo x=0.
• Podprostor vektoroveho prostoru V:  W je podmnozina V obsahujici 0 a uzavrena na scitani vektoru a na nasobeni vektoru libovolnym a\in K. Tj. W je uzavrena na vsechny operace vyskytujici se v definici vektoroveho podprostoru, vcetne odvozene nularni operace 0 (nulovy vektor).
• Podobne se definuji podstruktury ostatnich algebraickych struktur: napr. podgrupa je uzavrena na grupovou operaci, na operaci inverze, a obsahuje jednotkovy prvek , podokruh  je uzavreny na +,-,0 a ., podteleso je uzavrene na +,-,0,.,/,1. Jinak receno, napr. podrupa grupy G je podmnozina G, jez je grupou vzhledem ke "zdedenym" operacim.
• Priklad: vektorove podprostory R^2 jsou (geometricky) pocatek, cele R^2, a kazda primka prochazejici pocatkem (overime pozdeji).
• Pozorovani: prunik libovolneho souboru podprostoru vektoroveho prostoru V je opet podprostor.  Definice: je-li X podmnozina vektoroveho prostoru V, podprostor generovany X je prunik vsech podprostoru W ktere X obsahuji. Oznaceni: span(X) [angl., nem. literatura], <X>, L(X) [Pultr], [X] [skripta Bican] atd., nazev tez linearni obal X.
• Jsou-li v_1,...,v_n\in V vektory, kazdy vyraz a_1 v_1+a_2 v_2+...+a_n v_n, kde a_i\in K, se nazyva linearni kombinace v_1,...,v_n. Linearni kombinace je trivialni pokud vsechna a_i jsou 0, jinak netrivialni. Tvrzeni (explicitni popis podprostoru generovaneho X): span(X) je mnozina vsech linearnich kombinaci konecnych mnozin vektoru z X.
• Klicovy pojem: soubor (konecna posloupnost) vektoru (v_1,...,v_n) je linearne nezavisly pokud neexistuje netrivialni linearni kombinace a_1 v_1+...+a_n v_n rovna 0. (V souboru se mohou nejake vektory opakovat, ale jakmile v_i=v_j pak je soubor linearne zavisly.) Libovolny (i nekonecny) soubor vektoru je linearne nezavisly pokud kazdy konecny podsoubor je linearne nezavisly.
• Priklady linearne nezavislych systemu: (e_1,e_2,...,e_n) radky jednotkove matice E_n cili standardni baze R^n, prvnich r radku matice ve schodovem tvaru, (x^i)_{i=0,1,...} v R[x], (1,odmocnina ze 2) v R jako vektorovem prostoru nad Q.

Prednaska 6/XI/2000

Baze a systemy generatoru

• Lemma:  mnozina vektoru  X je linearne nezavisla prave kdyz kazdy vektor ze span(X) ma jednoznacne vyjadreni jako linearni kombinace nejakych vektoru z X. Jine lemma (cviceni): (v_1,...,v_r), r>1, jsou linearne zavisle prave kdyz nektery v_i je linearni kombinaci ostatnich.
• Definice: Necht B=(v_i)_{i\in I} je soubor vektoru ve vektorovem prostoru V; nazyva se system generatoru V pokud span(B)=V.  Linearne nezavisly system generatoru vektoroveho prostoru V se jmenuje  baze  V.
• Priklady: prazdny system je baze trivialniho prostoru {0}, (e_1,...,e_n) je baze K^n, (1,x,x^2,...) je baze R[x], ({a})_{a\in A} je baze vektoroveho prostoru vsech podmnozin konecne mnoziny A (nad Z_2).
• Tvrzeni (jak se poznaji konecne baze): Necht  B=(v_1,...,v_r) je soubor vektoru v netrivialnim vektorovem prostoru V. Nasledujici podminky jsou ekvivalentni:

(i) B je baze
(ii) B je minimalni system generatoru V
(iii) kazdy vektor V ma jednoznacne vyjadreni jako linearni kombinace vektoru z B
(iv) B je maximalni linearne nezavisly system.
Specialne, nema-li V zadny konecny system generatoru, existuje v nem nekonecna linearne nezavisla mnozina.
• Veta: kazdy vektorovy prostor ma bazi.  Dukaz vyzaduje axiom vyberu; dokazeme pouze pro konecne generovane vektorove prostory!
• Muze jeden vektorovy prostor mit ruzne velke baze? NE!! Steinitzova veta o vymene: Je-li A=(w_1,w_2,...,w_n) linearne nezavisly soubor vektoru ve V a B=(v_1,...,v_r) je baze V, pak n<=r a existuje r-n vektoru z B, ktere doplni A na bazi V.  Dukaz indukci podle n (zatim asi nejslozitejsi z dosud probranych dukazu).
• Dusledky: Kazdy linearne nezavisly system v konecne generovanem prostoru lze doplnit na bazi.Kazdy system generatoru je aspon tak velky jako libovolny linearne nezavisly soubor vektoru. Vsechny baze maji stejny pocet prvku (vse v konecne generovanem prostoru!). Pojem: dimenze vektoroveho prostoru V je mohutnost nejake (a tedy libovolne) baze V.
• Je-li W podprostor konecnedimenzionalniho prostoru V, pak dim(W)<=dim(V) a nastane-li rovnost, pak W=V.
• Poznamka: modul    - jako vektorovy prostor ale nad okruhem (napr. nad Z), lze definovat linearni nezavislost atd. ale veta o vymene neplati a minimalni mnoziny generatoru maji vselijake mohutnosti.

Prednaska 13/XI/2000

• Pojem: souradnice vektoru vzhledem k dane bazi
• Priklad (dulezity!): je-li A matice typu m x n nad telesem K, pak radky (ozn. a_1,...,a_m) muzeme chapat jako vektory z K^n, a span(a_1,...,a_m) se jmenuje radkovy vektorovy prostor matice A (tez radkovy modul). Podobne pro sloupcovy vektorovy prostor. Pozorovani: elementarni radkove upravy nemeni radkovy vektorovy prostor matice, a je-li A ve schodovem tvaru, tvori nenulove radky bazi a jejich pocet r, tedy hodnost A, je dimenze radkoveho vektoroveho prostoru (to je spravna definice hodnosti). Gaussova eliminace je efektivni zpusob hledani baze.
• Priklad: reseni soustavy rovnic Ax=0 tvori vektorovy prostor, podprostor K^n (pozor: reseni Ax=b pro b nenulove neni vektorovy prostor!). Ze schodoveho tvaru  A muzeme snadno najit jeho bazi.

Linearni zobrazeni

• Zobrazeni f: V->W, kde V a W jsou vektorove prostory (nad tymz telesem!), je linearni pokud f(u+v)=f(u)+f(v) a f(au)=af(u), pro kazde u,v\in V a a\in K.

Priklad (jednoduchy): linearni zobrazeni R^1->R^1 je nutne tvaru x |-> ax, a\in R.

Prednaska 20/XI/2000

• Linearni zobrazeni R^2->R^2 jsou uz dost zajimava; priklady: projekce na osu x, projekce na danou primku prochazejici 0, zrcadleni (x,y)|->(-x,y), zkoseni napr. (x,y)|->(x+y,y), rotace kolem 0 o uhel t. Obecny tvar: f(x,y)=(ax+by,cx+dy), jina nejsou. Maticovy tvar: f(v)= Av, kde v\in R^2 je sloupcovy vektor (x,y) a A je matice s radky (a,b) , (c,d).
• Tvrzeni: Je-li B baze (konecnedimenzionalniho) V a pokud se linearni zobrazeni f,g shoduji na vsech vektorech z B, pak f=g. Tez libovolne zobrazeni z B do nejakeho W se da jednoznacne rozsirit na linearni f:V->W, tj. linearni zobrazeni staci zadat na nejake bazi. Z toho: vime-li uz (geometricky) ze napr. otoceni kolem 0 o uhel t je linearni zobrazeni, muzeme jej snadno vyjadrit; vyjde ze to je (x,y)|->(x cos t - y sin t,x sin t + y cos t).
• Obecneji, libovolne linearni zobrazeni f: R^n->R^m ma tvar f(x)=Ax, kde x je sloupcovy vektor z R^n a A je matice m x n; jeji sloupce jsou obrazy bazovych vektoru e_1,...,e_n. Matice obvyklych geometrickych transformaci, napr. otoceni kolem pocatku, se objevuji napr. v pocitacove grafice a pod.
• Varovani: v casti literatury se matice zobrazeni definuje trochu jinak, jako matice transponovana k "nasi" matici (a vektory se zapisuji radkove); tak je to napr. ve skriptech [Pultr]. Oboji ma svoje vyhody i nevyhody, hlavne je treba zvolit jeden zpusob a toho se drzet.
• Co to znamena ze vektorove prostory V a W jsou "stejne"? Existuje mezi nimi isomorfismus f:V->W, coz je linearni zobrazeni, k nemuz existuje inverzni zobrazeni a to je tez linearni (coz je prave kdyz f je linearni, proste a na).
• Poznamka: "morfismy" algebraickych struktur. Linearni zobrazeni "komutuji" se vsemi operacemi, ktere se vyskytuji v definici vektoroveho prostoru, a isomorfismus ma inverzni zobrazeni tehoz typu. Podobne se definuji "morfismy" mnoha dalsich struktur, napr. jsou-li G,H grupy, pak f:G->H je homomorfismus (grup) pokud f(a*b)=f(a).f(b) pro vsechna a,b\in G (a z toho uz plyne f(e_G)=e_H a f(a^{-1})=f(a)^{-1}; f je isomorfismus grup pokud f^{-1} existuje a je tez homomorfismem. Podobne napr. pro homomorfisums teles (f(a+b)=f(a)+f(b), f(ab)=f(a)f(b), f(0)=0, f(1)=1 atd.). Ale i pro grafy: jsou-li G=(V,E) a H=(W,F) jednoduche neorientovane grafy, f:V->W je homomorfismus (grafu) pokud {u,v}\in E implikuje {f(u),f(v)}\in E, a isomorfismus (grafu) je homomorfismus majici inverzni zobrazeni, jez je tez homomorfismem. Obecneji o takovych vecech pojednava teorie kategorii.
• Aplikace linearni algebry: obdelnik o stranach 1 a x, kde x je iracionalni, nelze "vydlazdit" konecne mnoha ctvreci. Princip dukazu: necht existuje dlazdeni, uvazime vektorovy podprostor  V prostoru R nad Q generovany stranami pouzitych ctvercu, definujeme f:V->R linearni tak aby f(1)=1 a f(x)=-1, pro obdelnik A o stranach a a b definujeme v(A)=f(a)f(b), pritom v(naseho obdelnika 1 krat x) = -1 ale to musi byt rovno souctu v(pouzitych ctvrercu), coz jsou nezaporna cisla - spor.

Prednaska 27/XI/2000

• Pozorovani: k-dimenzionalni vektorovy prostor nad telesem GF(q) ma q^k vektoru.
• Aplikace linearni algebry: vektorovy prostor kruznic grafu. Bud G=(V,E) graf, pro jednoduchost souvisly. Podmnozina F mnoziny hran je eulerovska pokud v grafu (V,F) maji vsechny vrcholy sude stupne (vcetne stupnu 0). Mnozina 2^E vsech podmnozin hran je vektorovy prostor nad GF(2); system vsech eulerovskych podmnozin mnoziny E je podprostorem. Jeho dimenze je |E|-|V|+1 a baze se dostane z libovolne kostry T: jeji prvky jsou elementarni kruznice vznikle pridanim jedne hrany k T.  Dusledek: pocet eulerovskych mnozin hran v souvislem grafu je 2^{|E|-|V|+1}.
• Tvrzeni (n-dimensionalni vektorovy prostor nad K je "jen jeden"): kazdy n-dimensionalni vektorovy prostor je isomorfni K^n. (Pozn. - mnoho isomorfismu = mnoho "moznych pohledu" na dany vektorovy prostor!)
• Pojem: matice (linearniho) zobrazeni f:V->W vzhledem k danym bazim prostoru V a W; j-ty sloupec te matice jsou souradnice obrazu j-teho vektoru z baze V vzhledem k bazi W.  Jiny pohled: volba baze  B ve V urcuje isomorfismus s K^n, volba baze C v W urcuje isomorfismus s K^m, slozenim s temito isomorfismy se dostane zobrazeni K^n->K^m, a matice tohoto zobrazeni (vzhledem ke standardnim bazim) je totez jako matice f vzhledem k bazim B,C.

Prednaska 4/XII/2000

Geometrie linearnich zobrazeni a matice

• Skladani linearnich zobrazeni a nasobeni matic: Jsou-li f:K^n->K^m a g: K^p->K^m linearni, a A, B jsou jejich matice vzhledem ke standardnim bazim, pak f slozeno s g je tez linearni a ma matici AB (zase vzhledem ke standardnim bazim); tim je "vysvetleno" pravidlo nasobeni matic.
• Priklad: slozeni matic rotaci kolem pocatku v R^2 dava souctove vzorce pro sinus a kosinus.
• Obecneji: Jsou-li V_1,V_2,V_3 vektorove prostory a B_i je nejaka baze V_i, f:V_2->V_1 je linearni zobrazeni s matici A vzhledem k bazim B_2 a B_1, a g:V_3->V_2 je linearni zobrazeni s matici B vzhledem k bazim B_3 a B_2, pak f slozeno s g:V_3->V_1 ma matici AB vzhledem k bazim B_3 a B_1.
• Specialne: jsou-li B a C dve baze prostoru V, potom matice identickeho zobrazeni id:V->V vzhledem k bazim B a C se nazyva matice prechodu od B k C. Je-li x vektor souradnic nejakeho v\in V vzhledem k bazi B, potom souradnice v v bazi C jsou dany vektorem Ax. Varovani: definice matice prechodu se v literature ruzni, nekdy se bere matice "obracenym smerem", tedy inverzni k "nasi" definici (napr. ve skriptech [Pultr]).
• Pojmy pro linearni zobrazeni f: U->V: vzor 0 je jadro f , oznacovane Ker f (to je podprostor U), obraz f(U)=Im f je podprostor V.
• Plati (pro konecnedimenzionalni V) dim(Ker f)+dim(Im f)=dim(U). Specialne f je proste prave kdyz Ker f={0}; potom f je isomorfismus prostoru V s prostorem Im f a zobrazuje bazi na bazi. Vzdycky dim(Im f)<=dim(V), tedy linearni zobrazeni nemuze zvysit dimenzi.
• Definice: hodnost linearniho zobrazeni f je cislo dim(Im f). Pozorovani: je-li A matice zobrazeni f (vzhledem k nejakym bazim, nejjednodussi pripad je f:R^n->R^m a standardni baze), potom Im f je isomorfni sloupcovemu prostoru matice A, a tedy hodnost f je rovna (sloupcove) hodnosti matice A.

Prednaska 11/XII/2000

• Veta (dulezita a davno slibena): pro kazdou matici je radkova a sloupcova hodnost totez cislo (tedy dimenze radkoveho a sloupcoveho prostoru jsou stejne). Princip dukazu: plati pro radkovy schodovy tvar; elementarni radkove upravy nemeni radkovy vektorovy prostor a zachovavaji dimenzi sloupcoveho vektoroveho prostoru (produkuji vzdy sloupcovy vektorovy prostor isomorfni puvodnimu).
• Pozorovani: interpretujeme-li matici A jako matici linearniho zobrazeni f:U->V vzhledem k nejakym bazim, potom elementarni radkove upravy A (jako pri Gaussove eliminaci) odpovidaji zmene baze ve V, a elementarni sloupcove upravy zmene baze v U (bez dukazu, doporucuji k rozmysleni).
• Jiny pohled na elementarni radkove (a sloupcove) upravy: elementarni radkova uprava matice A znamena nasobeni A jistou (regularni) ctvercovou matici ZLEVA (a sloupcova zprava). Gaussova eliminace tedy vyrobi regularni ctvercovou matici R takovou, ze RA je v radkovem schodovem tvaru.
• Inverzni matice: linearni zobrazeni f:K^n->K^n ma hodnost n prave kdyz je isomorfismus, pak ma i inverzni zobrazeni f^{-1} pro nejz f^{-1} slozeno s f = f slozeno s f^{-1} = id. Prelozeno do matic: ma-li ctvercova n x n matice A hodnost n (takove matice se jmenuji regularni) pak existuje prave jedna matice B, pro niz AB=BA=E_n; tato B se jmenuje inverzni matice k matici A a znaci se A^{-1}.  Presneji, je-li A matice n x n, potom matice B splnujici AB=E_n existuje prave kdyz je A regularni. Tato B je urcena jednoznacne a plati pro ni i BA=E_n. To vse je snadno videt pomoci linearnich zobrazeni; trochu pracneji se to da dokazat i primym pocitanim s maticemi.
• Maticova grupa GL(n,K): ctvercove matice n x n nad telesem K tvori grupu: operace je nasobeni matic, jednotkovy prvek je E_n, inverzni prvek je A^{-1}. Tyto grupy a vselijake jejich podgrupy jsou obecne velmi slozite a velmi dulezite, napr. ve fyzice. [Priklady: overte ze GL(2,R) neni komutativni; vysvetlete vas priklad v reci linearnich zobrazeni. Jak vypada grupa GL(2,Z_2)?]
• Jak pocitat inverzni matici? Resenim systemu linearnich rovnic Ax=e_i, i=1,2,...,n. Pohodlneji: zacit s matici (A|E_n) a radkovymi upravami ji prevest na tvar (E_n|B); potom B=A^{-1}.
• Afinni podprostory: Podmnozina vektoroveho prostoru V tvaru x+U={x+u: u\in U}, kde U je (vektorovy) podprostor V, se nazyva afinni podprostor (tez linearni mnozina nebo lineal) ve V. Jeho dimenze je dim(U). Napr. obecne primky a roviny v R^3 jsou afinni podprostory. Terminologie: 1-dimenzionalni afinni podprostor je nazyva (afinni) primka, 2-dimenzionalni (afinni) rovina, (n-1)-dimenzionalni afinni podprostor n-dimenzionalniho prostoru se jmenuje nadrovina.

Prednaska 18/XII/2000

• Je-li f: U->V linearni zobrazeni a y\in V dany vektor, potom f^{-1}(y) je bud prazdna mnozina, anebo afinni podprostor U; ma tvar x+Ker(f), kde x je nejaky (libovolny) vektor splnujici f(x)=y.
• Totez v reci matic: Mnozina vsech reseni soustavy Ax=b, kde A je m x n matice a b je m-slozkovy vektor, je bud prazdna anebo ma tvar x_0+L, kde x_0 je nejake libovolne reseni soustavy Ax=b a L je mnozina vsech reseni homogenni soustavy Ax=0. Hledani vsech reseni soustavy Ax=b: najdeme jedno reseni x_0 (pokud existuje) a nejakou bazi pro prostor reseni homogeni soustavy Ax=0.
• Shrnuti toho, co zatim vime o reseni soustavy linearnich rovnic Ax=b, a ruzne pohledy na to (napr. "vektoroveprostorovy": je b v podprostoru generovanem sloupci A?; "geometricky" prunik nadrovin v K^n; "linearnezobrazenovy" vzor vektoru b pri linearnim zobrazeni x|->Ax, reseni je afinni podprostor K^n). Frobeniova veta: soustava Ax=b ma reseni prave kdyz matice A a rozsirena matice (A|b) maji stejnou hodnost (ted uz je to jasne: vektor b musi byt linearni kombinaci sloupcu A).
• Aplikace: hledani vzorce pro Fibonacciho cisla. Prostor V vsech posloupnosti (a_0,a_1,...) realnych cisel se scitanim po slozkach, podprostor Y posloupnosti splnujicich y_{n+2}=y_{n+1}+y_n, jeho dimenze je 2 (volba prvnich 2 clenu!); "vnuknuti": hledejme posloupnost y\in U tvaru y_n=t^n - vyjde kvadraticka rovnice pro z se 2 ruznymi koreny t_{1,2}=(1+-odmocnina 5)/2, ty dve posloupnosti jsou linearne nezavisle a tedy baze Y; Fibonacciho cisla vyjadrime v teto bazi (pouzitim prvnich dvou clenu). Podobne to funguje i pro jine rekurence tvaru y_{n+k}=a_{k-1}y_{n+k-1}+...+a_0y_n, ale mohou se vyskytnout potize, treba pro y_{n+2}=2y_{n+1}-y_n; pak se musi hledat jina baze, to ted nebudeme delat.

Prednaska 8/I/2001

• Dalsi konstrukce pro vektorove prostory: suma U+V (pro podprostory tehoz vekt. prostoru W!) je rovna span(U sjednoceno s V); tvrzeni:

dim(U+V)=dim(U)+dim(V)-dim(U prunik V)
(vsimnete si analogie s principem inkluze a exkluze pro 2 mnoziny).
• Direktni suma U a V (oznaceni: plus v krouzku) pro vektorove prostory, ktere nejsou nutne podprostory tehoz W - je to mnozina UxV (kartezsky soucin) s operacemi po slozkach.
• Faktorprostor (nebo "kvocientovy prostor") U/V ("U podle V"), kde V je podprostor U: "body" U/V jsou tridy ekvivalence na U kde u je ekvivalentni v prave kdyz u-v\in V (treba overit ze da vektorovy prostor). Tvrzeni: dim(U/V)=dim(U)-dim(V); dukaz pomoci "kvocientoveho zobrazeni" q:U->U/V, x|->x+V (Ker q = V, Im q=U/V).
• Dulezity (tezsi) doporuceny priklad: Je-li f:U->W linearni zobrazeni, pak U/Ker(f) je isomorfni Im(f) [podobna veta plati i pro dalsi algebraicke struktury].
• Tvrzeni: kazdy afinni podprostor L=x+V (konecnedimenzionalniho) vektoroveho prostoru U je tvaru Ker(f) pro vhodne linearni zobrazeni f:U->W. Dukaz: f=kvocientove zobrazeni U->U/V. Dusledek: kazdy k-dimensionalni afinni podprostor L prostoru K^n je resenim soustavy n-k  linearnich rovnic. Doporuceny priklad: odvodit, jak se takova soustava da konkretne zkonstruovat je-li L=x+V a V je zadan nejakou bazi. (Jiny dukaz dusledku pomoci skalarniho soucinu viz skripta [Pultr].) Tedy kazdy afinni podprostor ma jak parametricke vyjadreni tak vyjadreni jako prunik nadrovin (pro primky v rovine jsme tim prednasku zacinali).
• Dusledek: Prunik (konecneho) souboru afinnich podprostoru nejakeho (konecnedimensionalniho) vektoroveho prostoru je opet afinnim podprostorem (zkombinujeme prislusne soustavy linearnich rovnic do jedne). Namet k rozmysleni: jak by se to dokazalo pro nekonecny soubor afinnich podprostoru v konecnedimensionalnim prostoru?
• Aplikace linearni algebry v kombinatorice: "Kluby mesta Lisakova". Ve meste zije n obcanu, kteri jsou sdruzeni v m klubech. Podle vyhlasky mestske rady ma kazdy klub LICHY pocet clenu, zatimco pro kazde dva kluby musi byt pocet spolecnych clenu SUDY. Veta (ne snadna!): v teto situaci je nutne m mensi nebo rovno n, t.j. klubu neni vic nez obcanu. Dukaz: obcane 1,2,...,n, kluby K_1,K_2,...,K_m, definujeme matici A typu m x n kde a_{ij}=1 pokud j\in K_i a a_{ij}=0 jinak (kluby=radky); uvazujeme A nad dvoupvkovym telesem GF(2). Hodnost A je nejvys n (jasne). Podle vyhlasky mestske rady plati AA^T=E_m (jednotkova matice), a proto hodnost(A) je aspon m.