Informace o zkoušce z Matematické analýzy III (MAI056), ZS 2007/08 ------------------------------------------------------------------ Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 17.1., 24.1., 31.1., 7.2. a 14.2. Další případné termíny budou vyhlášeny později. Přihlašování na zkoušku a další údaje v SISu. Na tyto termíny se mohou zapisovat studenti z mé paralelky (kruhy 31-36) a studenti kombinovaného studia. Výjimky jsou možné pouze po dohodě. Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru (nebo později) na prověření početní techniky, se 4 příklady (okruhy: parc. derivace, extrémy funkcí více proměnných, implicitní funkce, dif. rovnice), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie. U obou písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. Okruhy příkladů v písemce na zkoušce: 1. Početní příklad jako v zápočtové písemce (okruhy viz výše). 2. Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice). 3. Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů). 4. Jedna otázka z okruhů C níže (věty s důkazy). Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Nepůjde jen o prosté vypsání definice na papír. Hodnocení zkoušky ----------------- Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad). Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů. 0 -19 bodů = "neprospěl(a)" 20-26 bodů = "dobře" 27-33 bodů = "velmi dobře" 34-40 bodů = "výborně". Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den v odpoledních nebo večerních nebo nočních hodinách. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázku. Okruhy otázek pro zkouškovou písemku ------------------------------------ A (základní pojmy a definice) 1. Definujte pojmy: metrický prostor, otevřená a uzavřená množina, otevřená koule, hraniční bod množiny. 2. Definujte spojitost zobrazení mezi metr. prostory a pojem homeomorfismu. 3. Podejte obě definice kompaktního metr. prostoru, resp. kompaktní množiny v metr. prostoru. 4. Definujte úplný metr. prostor a kontrahující zobrazení mezi metr. prostory. 5. Definujte normovaný prostor a prostor se skalárním součinem. 6. Definujte pojem parciální derivace a diferenciálu funkce více proměnných. 7. Definujte Jacobiho matici zobrazení a Hessovu matici funkce více proměnných. 8. Napište definici vícerozměrného Riemannova integrálu přes box v R^n a přes obecnou podmnožinu R^n. 9. Vysvětlete, co to znamená, že funkce f(x,y) splňuje na nějaké množině lokálně Lipchitzovu podmínku vzhledem k proměnné y. 10. Definujte fundamentální systém řešení soustavy lineárních diferenciálních rovnic 1. řádu. 11. Popište komplexní a reálný fundamentální systém řešení (FSŘ) lin. dif. rovnice řádu n s konst. koeficienty. B (věty a výsledky bez důkazů) 1. Uveďte vlastnosti otevřených a uzavřených množin v metr. prostoru a topologickou charakterizaci spojitosti zobrazení mezi metr. prostory (T.1.1-T.1.3). 2. Uveďte výsledky o kompaktních množinách v metr. prostoru (T.1.4-V.1.8). 3. Uveďte výsledky o úplných metr. prostorech (T.1.9 a V.1.10). 4. Uveďte základní vlastnosti parciálních derivací a diferenciálů funkcí více proměnných (T.2.1, T.2.3-T.2.6). 5. Uveďte základní výsledky o počítání s parciálními derivacemi a diferenciály (T.2.7-T.2.9). 5. Uveďte výsledky o Taylorově rozvoji a extrémech funkcí více proměnných na otevřené množině (T.2.10 a V.2.11). 6. Uveďte výsledky o funkcích definovaných implicitně a vázaných extrémech funkcí více proměnných (V.2.12-D.2.14). 7. Uveďte a vysvětlete Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text k 8. přednášce). 8. Uveďte věty zaručující existenci řešení diferenciálních rovnic a jejich soustav (V.3.1-V.3.3). 9. Popište postup řešení lineární difer. rovnice 1. řádu a difer. rovnice 1. řádu se separovanými proměnnými. 10. Popište teorii soustav lineárních difer. rovnic (T.3.4-V.3.6). C (věty s důkazy) 1. Uveďte a dokažte výsledky o otevřených a uzavřených množinách v metr. prostoru. (T.1.1 a T.1.2). 2. Uveďte a dokažte topologickou charakterizaci spojitosti zobrazení mezi metr. prostory (T.1.3). 3. Dokažte, že kompaktní množiny v metr. prostoru jsou uzavřené a omezené (T.1.5). 4. Uveďte a dokažte vlastnosti spojitých funkcí na kompaktních metr. prostorech (V.1.7). 5. Uveďte a dokažte Banachovu větu o pevném bodu (V.1.10). 6. Dokažte, že spojitost parciálních derivací implikuje diferencovatelnost (V.2.4). 7. Uveďte a dokažte větu o diferenciálu složeného zobrazení (V.2.8). 8. Uveďte a dokažte tvrzení o záměnnosti parc. derivací (T.2.9). 9. Uveďte a dokažte větu o extrémech funkcí více proměnných na otevřené množině (V.2.11). 10. Uveďte a dokažte Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text k 8. přednášce). 11. Uveďte a dokažte Picardovu větu o řešení difer. rovnice prvního řádu (V.3.2=V.2.11). 12. Popište prvky komplexního a reálného FSŘ lin. difer. rovnice řádu n s konst. koeficienty a dokažte, že jsou řešením této rovnice (T.3.7). 13. Popište prvky komplexního FSŘ lin. difer. rovnice řádu n s konst. koeficienty a dokažte, že jsou lineárně nezávislé (V.3.8). *******************************************************************