Informace o zkoušce z Matematické analýzy II (MAI055), LS 2008/09 ----------------------------------------------------------------- Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 5.6., 12.6., 19.6., 26.6. (viz SIS) Na tyto termíny se mohou zapisovat pouze studenti z mé paralelky I-1/X (kruhy 31-36), I-1/Z (kruhy 43-46) a studenti kombinovaného studia (s příjmením A-J). Výjimky jsou možné jen po domluvě. Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru, popř. později, na prověření početní techniky, se 4 příklady (příklady okruhů: prim. funkce, integrál, parciální derivace, extrémy funcí více proměnných), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie. U obou písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. Okruhy příkladů v písemce na zkoušce: 1. Početní příklad (integrál nebo extrémy funcí více proměnných nebo implicitní funkce). 2. Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice). 3. Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů). 4. Jedna otázka z okruhů C níže (věty a výsledky s důkazy). Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Hodnocení zkoušky ----------------- Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad). Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů. 0 -19 bodů = "neprospěl(a)" 20-26 bodů = "dobře" 27-33 bodů = "velmi dobře" 34-40 bodů = "výborně". Ke zkoušce jsou rovněž započítávány podle dohody bonusové body z písemek uprostřed semestru na cvičeních. Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázky. Okruhy otázek pro zkouškovou písemku ------------------------------------ A - základní pojmy a definice 1. Definujte primitivní funkci k dané funkci. 2. Definujte Riemannův integrál funkce. 3. Definujte stejnoměrnou spojitost funkce. 4. Definujte množinu Lebesgueovy míry nula. 5. Definujte Newtonův integrál. 6. Definujte pojem parciální derivace a diferenciálu funkce více proměnných. 7. Definujte Jacobiho matici zobrazení a Hessovu matici funkce více proměnných. 8. Napište definici vícerozměrného Riemannova integrálu přes box v R^n a přes obecnou podmnožinu R^n. 9. Definujte pojem metrického prostoru a pojem otevřené a uzavřené množiny. B - věty a výsledky bez důkazů 1. Uveďte základní vlastnosti primitivních funkcí (jednoznačnost a prim. funkce, spojité funkce a prim. funkce, prim. funkce a nabývání mezihodnot). 2. Popište obecný tvar primitivní funkce k racionální funkci. 3. Uveďte postupy pro hledání prim. funkcí (per partes, substituce) 4. Uveďte Lebesgueovu větu o existenci Riemannova integrálu a její důsledky. 5. Uveďte základní výsledky o Riemannově integrálu a třídě riemannovsky integrovatelných funkcí (integr. funkce a monotonie, integr. funkce a spojité funkce, integr. funkce tvoří vekt. prostor a integrál je lin. funkcionál, závislost integrálu na integračním intervalu). 6. Uveďte výsledky o výpočetních vlastnostech Riemannova integrálu (linearita, per partes a substituce). 7. Vysvětlete, jak spolu souvisí Riemannův a Newtonův integrál. 8. Uveďte některé aplikace integrálů (integrální kritérium pro řady, formule pro výpočet plochy, délky křivky a objemu rotačního tělesa). 9. Uveďte základní vlastnosti parciálních derivací a diferenciálů funkcí více proměnných (T.2.1, T.2.3-T.2.6). 10. Uveďte základní výsledky o počítání s parciálními derivacemi a diferenciály (T.2.7-T.2.9). 11. Uveďte výsledky o Taylorově rozvoji a extrémech funkcí více proměnných na otevřené množině (T.2.10 a V.2.11). 12. Uveďte výsledky o funkcích definovaných implicitně a vázaných extrémech funkcí více proměnných (V.2.12, D.2.13 a D.2.14). 13. Uveďte a vysvětlete Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text k 10. přednášce). 14. Uvedte výsledky o metrických prostorech (vlastnosti otevřených a uzavřených množin). C - věty s důkazy 1. Dokažte, že funkce, která má prim. funkci, nabývá všech mezihodnot. 2. Zformulujte pravidla pro integraci (tj. hledání primitivní funkce) per partes a substitucí a dokažte je. 3. Dokažte kritérium existence Riemannova integrálu (f má na [a, b] R. i., právě když je rozdíl S(f, D) - s(f, D) libovolně malý pro vhodná D). 4. Dokažte, že spojitá funkce má na kompaktním intervalu [a, b] Riemannův integrál. 5. Dokažte, že funkce spojitá na [a, b] má na [a, b] primitivní funkci (pomocí 1. části základní věty analýzy). 7. Dokažte výsledek o souvislosti integrálu a primitivní funkce (část 2 základní věty analýzy). 8. Dokažte, že spojitost parciálních derivací implikuje diferencovatelnost (V.2.4). 9. Uveďte a dokažte větu o diferenciálu složeného zobrazení (V.2.8). 10. Uveďte a dokažte tvrzení o záměnnosti parc. derivací (T.2.9). 11. Uveďte a dokažte větu o extrémech funkcí více proměnných na otevřené množině (V.2.11). 12. Uveďte a dokažte Fubiniovu větu pro vícerozměrný Riemannův integrál (viz náhradní text k 10. přednášce). Vzorová zkušební písemka Písemná zkouška z Matematické analýzy III, ?. ?. 2009 (90 minut) Jméno: Kruh: ------------------------------------------------------------- Příklad 1 (6 bodů) Nalezněte všechny lokální extrémy funkce f(x,y,z) = y.cos(z) - y^2 - x^2 na množině R^3. Určete globální maximum a minimum (zda existuje, kde se nabývá, jaká je jeho hodnota). Výsledek zdůvodněte. ------------------------------------------------------------- Příklad 2 (6 bodů) a) Definujte Jacobiho matici zobrazení a Hessovu matici funkce více proměnných. b) Je dán bod a v R^m. Rozhodněte, zda každá matice A s rozměrem n krát m a reálnými položkami je Jacobiho maticí v bodě a nějakého zobrazení F z R^m do R^n. Své tvrzení zdůvodněte. ------------------------------------------------------------- Příklad 3 (6 bodů) a) Uveďte (bez důkazu) výsledky o metrických prostorech: vlastnosti otevřených a uzavřených množin. b) Nechť X je množina reálných čísel (pracujeme v euklidovském prostoru R s obvyklou metrikou), která není ani prázdná ani rovná celému R. Dokažte, že taková X nemůže být současně otevřená i uzavřená množina. Návod: použijte supremum. -------------------------------------------------------------- Příklad 4 (6 bodů) Dokažte, že spojitá funkce má na kompaktním intervalu [a, b] Riemannův integrál.