Informace o zkoušce z Matematické analýzy I (MAI054), ZS 2006/07 ---------------------------------------------------------------- Zkoušející: Martin Klazar ------------------------- Termíny zkoušek: 18.1., 22.1., 26.1., 6.2. a 15.2. Další termíny budou vyhlášeny později. Přihlašování na zkoušku v SISu. Na tyto termíny se mohou zapisovat pouze studenti z mé paralelky I-1/X (kruhy 31-34) a studenti kombinovaného studia. Výjimky jsou možné jen po domluvě. Získání zápočtu je nutnou (a prakticky i postačující) podmínkou připuštění ke zkoušce. Bez uděleného zápočtu, zapsaného v SISu, nebude student ke zkoušce připuštěn. Zápočet uděluje cvičící. Typickou podmínkou pro udělení zápočtu může být účast v zápočtové písemce (+ zisk stanoveného minima bodů). Zkouška se skládá ze dvou písemek: (i) 90 min. zápočtová písemka na cvičení v posledním týdnu semestru na prověření početní techniky, se 4 příklady (okruhy: limita posloupnosti, limita funkce, nekonečná řada, určení spojitosti/výpočet derivace, průběh funkce), a (ii) 90 min. písemka na zkoušce se 4 příklady na prověření teorie. U obou písemek není dovoleno používat ani písemné materiály (záznamy z přednášek, učebnice atd.) ani technické pomůcky (laptopy, mobily, kalkulačky atd.), pouze tužku, papír a vlastní (nikoli sousedovu) hlavu. Výjimky v případě hendikepovaných studentů povoluje zkoušející. Okruhy příkladů v písemce na zkoušce: 1. Početní příklad jako v zápočtové písemce (limita posloupnosti nebo limita funkce nebo nekonečná řada nebo určení spojitosti/výpočet derivace nebo průběh funkce). 2. Jedna až dvě otázky z okruhů A níže (základní pojmy a definice). 3. Jedna otázka z okruhů B níže (věty a výsledky bez důkazů). 4. Jedna otázka z okruhů C níže (věty s důkazy). Příklady 2 a 3 budou obsahovat doplňující otázky ověřující porozumění danému pojmu či definici či větě. Nepůjde jen o vychrlení definice na papír. Hodnocení zkoušky ----------------- Písemka na cvičení: maximálně 16 bodů (zpravidla 4 body za příklad). Písemka na zkoušce: maximálně 24 bodů (zpravidla 6 bodů za příklad). Celkem lze tedy získat z obou písemek maximálně 40 bodů. 0 -19 bodů = "neprospěl(a)" 20-26 bodů = "dobře" 27-33 bodů = "velmi dobře" 34-40 bodů = "výborně". Výsledky budou oznámeny po opravení písemek, zpravidla týž den v odpoledních nebo večerních nebo nočních hodinách. V nerozhodných a sporných případech může zkoušející položit doplňující ústní otázku. Okruhy otázek pro zkouškovou písemku ------------------------------------ Kapitola 5 (Primitivní funkce) se teď v ZS nezkouší. A (základní pojmy a definice) 1. (shora, zdola) omezená množina (posloupnost, funkce), supremum a infimum množiny reálných čísel; 2. vybraná posloupnost, (ne)rostoucí, (ne)klesající, monotonní, konstantní posloupnost (funkce); 3. (vlastní a nevlastní) limita posloupnosti, (prstencové, jednostranné) okolí bodu, cauchyovská posloupnost; 4. limes superior a limes inferior posloupnosti, hromadný bod posloupnosti; 5. nekonečná řada, (částečný) součet řady, konvergentní a divergentní řady, absolutní konvergence řad, Cauchyova podmínka pro řady; 6. sudá, lichá, periodická funkce, (lokální, globální, ostré) maximum a minimum funkce na množině; 7. (jednostranná, nevlastní) limita funkce v bodě a (jednostranná) spojitost funkce v bodě, spojitost na intervalu; 8. (jednostranná) derivace funkce v bodě, derivace vyšších řádů, Taylorův polynom funkce; 9. Asymptotické symboly o a O; 10. (ryze) konvexní a (ryze) konkávní funkce, inflexní bod, asymptoty funkce. B (věty a výsledky bez důkazů) 1. Uveďte (a nedokazujte) základní vlastnosti limit posloupností (Věta, Tvrzení 2.1 až 2.5); 2. Uveďte (a nedokazujte) vztahy mezi uspořádáním, resp. aritmetickými operacemi, a limitou posloupnosti (Věta, Tvrzení 2.6 až 2.9); 3. Uveďte (a nedokazujte) vlastnosti limsup a liminf posloupnosti (Věta 2.11 a její důsledek); 4. Uveďte (a nedokazujte) kritéria konvergence řad (Věta, Tvrzení 2.14, 2.16 až 2.19); 5. Diskutujte konvergenci a součet dvou nejdůležitějších řady, geometrické řady a 1^s + 2^s + 3^s + ...; 6. Uveďte (a nedokazujte) kritéria neabsolutní konvergence řad (Věta 2.20); 7. Uveďte (a nedokazujte) věty o přerovnávání řad (Věty 2.22 a 2.23); 8. Uveďte (a nedokazujte) základní vlastnosti limit funkcí (Věta, Tvrzení 3.1 až 3.4); 9. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o limitě a skládání, resp. monotonii, funkcí (Věty 3.5 a 3.6); 10. Uveďte (a nedokazujte) vlastnosti funkcí spojitých na intervalu (Věty 3.7 až 3.9); 11. Uveďte (a nedokazujte) větu o zavedení exponenciály (Věty 3.10 a 3.12); 12. Uveďte (a nedokazujte) základní výsledky o derivacích a jejich počítání (Věta, Tvrzení 4.1 až 4.4); 13. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o souvislost monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (Tvrzení 4.5, Věta 4.11); 14. Uveďte (a nedokazujte) věty o střední hodnotě a jejich aplikace (Věta, Tvrzení 4.6 až 4.10); 15. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o použití druhé derivace: konvexní (konkávní) funkce a inflexní body (Věta, Tvrzení 4.12 až 4.15); 16. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o Taylorově polynomu a jeho aplikacích (Věta, Tvrzení 4.17 a 4.18, rozvoje funkcí exp(x), sin(x), cos(x), log(1+x) a (1+x)^a do Taylorovy řady s oborem konvergence). C (věty s důkazy) Reálná čísla. 1. Zformulujte a dokažte Cantorovu větu o vnořených intervalech (Věta 1.2); 2. Dokažte nespočetnost množiny R (Věta 1.3); 3a. Dokažte, že odmocnina ze tří je iracionální číslo; 3b. Dokažte, že e=2.71828... je iracionální číslo. Posloupnosti. 4. Zformulujte a dokažte výsledky o limitě monotónní posloupnosti a o limitě podposloupnosti (Věta 2.2 a Tvrzení 2.3); 5. Zformulujte a dokažte Bolzanovu-Weierstrassovu větu (Věta 2.4); 6. Zformulujte a dokažte výsledky o konvergenci a cauchyovskosti, a o limitě a uspořádání (Věta 2.5 a Tvrzení 2.6); 7. Zformulujte a dokažte výsledek o aritmetice limit (Tvrzení 2.8); 8. Zformulujte a dokažte Bolzanovu-Weierstrassovu větu pro všechny posloupnosti (Věta 2.4*); 9. Zformulujte a dokažte vztah mezi liminf, limsup a hromadnými body posloupnosti (Věta 2.11). Nekonečné řady. 10. Zformulujte a dokažte podmínky konvergence řady a vztah mezi absolutní konvergencí a konvergencí (Věta 2.12 a Tvrzení 2.13); 11. Zformulujte a dokažte Leibnizovo kritérium konvergence (Věta 2.14); 12a. Pojednejte o konvergenci a součtu geometrické řady a dokažte odmocninové kritérium konvergence (Věta 2.17); 12b. Pojednejte o konvergenci a součtu geometrické řady a dokažte podílové kritérium konvergence (Věta 2.18); 13a. Zformulujte Abelovo a Dirichletovo kritérium neabsolutní konvergence (Věta 2.20) a dokažte Abelovo kritérium; 13b. Zformulujte Abelovo a Dirichletovo kritérium neabsolutní konvergence (Věta 2.20) a dokažte Dirichletovo kritérium; 14. Zformulujte a dokažte větu o přerovnání absolutně konvergentní řady (Věta 2.22). Limita a spojitost funkce. 15. Zformulujte a dokažte Heineho větu (Věta 3.2) a tvrzení o limitě a uspořádání (Tvrzení 3.4); 16. Dokažte větu o limitě složené funkce (Věta 3.5) a větu o limitě monotonní funkce (Věta 3.6); 17. Zformulujte a dokažte Darbouxovu větu (Věta 3.7) a větu o extrémech spojité funkce (Věta 3.8); 16. Zformulujte a dokažte větu o větu o spojitosti inverzní funkce (Věta 3.9); 17. Zformulujte a dokažte větu o zavedení exponenciály řadou (Věta 3.12), nemusíte dokazovat tvrzení o Cauchyově součinu řad. Derivace funkce. 18. Zformulujte a dokažte větu o aritmetice derivací (Věta 4.2); 19. Zformulujte a dokažte větu o derivaci složené funkce (Věta 4.3); 20. Zformulujte a dokažte větu o derivaci inverzní funkce (Věta 4.4); 21. Zformulujte a dokažte Cauchyho větu o střední hodnotě (Věta 4.8); 22. Zformulujte l'Hospitalovo pravidlo (Věta 4.9) a dokažte jeden z jeho dvou případů (i) nebo (ii); 23. Zformulujte a dokažte vlastnosti konvexních (konkávních) funkcí (Věty 4.12 a 4.13); 24. Zformulujte a dokažte charakterizaci inflexních bodů (Tvrzení 4.14 a Věta 4.15); 25. Zformulujte a dokažte větu o jednoznačnosti Taylorova polynomu (Věta 4.17); 26. Zformulujte a dokažte větu o tvaru zbytku Taylorova polynomu (Věta 4.18) a odvoďte Cauchův a Lagrangeův tvar zbytku; 27a. Dokažte, že Taylorova řada funkce log(1+x) k ní konverguje na intervalu (-1,1]. 27b. Dokažte, že 1-1/2+1/3-1/4+1/5-... = log 2. 27c. Dokažte, že Taylorova řada funkce (1+x)^a, a reálné, k ní konverguje na intervalu (-1,1). Vzorová písemka na zkoušce -------------------------- Odpovědi zdůvodněte! 1. Spočtěte limitu lim_{x -> +nekonečno} x^2(log(1+1/x) - sin(1/x)). 2. Definujte pojmy: nekonečná řada, částečný součet řady, součet řady, konvergentní řada, divergentní řada, absolutně konvergentní řada, Cauchyova podmínka pro řady. Rozhodněte zda platí ekvivalence: řada a_1+a_2+a_3+a_4+... konverguje, právě když každá z řad a_k+a_{k+2}+a_{k+4}+a_{k+6}+... pro k=1, 2, 3, ... konverguje. Pokud ne, rozhodněte, která z obou implikací platí (pokud vůbec nějaká platí). 3. Uveďte (a nedokazujte) výsledky o souvislost monotonie funkce a jejích extrémů s derivací (Tvrzení 4.5, Věta 4.11). Aplikujte tyto výsledky na funkci definovanou jako f(x) = 1 - cos x pro x z [-pi/2, pi/2] a x různé od 0 a f(0)=1/2 a určete s jejich pomocí lokální a globální extrémy f(x) na intervalu [-pi/2, pi/2]. 4. Dokažte, že Taylorova řada funkce (1+x)^a, a reálné, k ní konverguje na intervalu (-1,1).