Teorie čísel DMI045

Prednaska bude navazovat pokrocilejsimi partiemi na "Uvod do do teorie cisel" ze zimniho semestru. Podivame se na nektere vysledky aditivni teorie cisel: 1) Jacobiho ctyrctvercova identita (pocet vyjadreni cisla n jako souctu ctyr ctvercu, pricemz zalezi na poradi i znamenkach, se rovna osminasobku souctu tech delitelu cisla n, ktere nejsou nasobkem ctyr), 2) Ramanujanovy kongruence pro partitni funkci (napr. p(5m + 4) je vzdy nasobek peti, pricemz p(n) oznacuje pocet rozkladu cisla n), 3) Snirelmanova veta (kazde cislo n je souctem omezene mnoha prvocisel) a snad i 4) Vinogradovova veta (kazde dostatecne velke liche cislo n je souctem tri prvocisel).

Zkouška. Domluva emailem. Nebudu zde od 2. do 6. června a od 23. do 27. června. Jinak jsem přístupný i termínům v létě. Okruhy ke zkoušce: 1. Jacobiho třísoučinová identita (kombinatorický a analýznický důkaz); aplikace bez důkazu. 2. Remmelova-Cohenova metaidentita a konkrétní příklady identit. 3. Odhady p(n)< ... a p_k(n) ~ ... (viz 1 a 2 z 26.3. níže). 4. šnirelmanova věta 3 (pokud š(A) > 0, je A aditivní bazí) a odvození, že {1, 2, 3, 5, 7, 11, ...} je aditivní bazí. 5. Hardy-Ramanujanova věta (skoro všechna n mají log(log n) prvočinitelů) a její důsledek.

26.2.2003 Rozdán rozmnožený textík s kombinatorickým důkazem Jacobiho třísoučinové identity: (1-x²)(1+xz)(1+x/z).(1-x⁴)(1+x³z)(1+x³/z)... = ...+x^{(-1)^2}.z^-1+x^{0^2}.z⁰+x^{1^2}.z¹+... a jejími důsledky.

5.3.2003 Důkaz Ramanujanových kongruencí: p(5m+4), kde p(.) je rozkladová funkce (počet rozkladů čísla n), je vždy dělitelné pěti a p(7m+5) je vždy dělitelné sedmi.

12.3.2003 Důkaz dvou identit pro součty čtverců: r₂(n) = 4(d₁(n)-d₃(n)), kde d_i(n) je počet dělitelů n kongruentních i mod 4, a r₄(n) = 8.součet těch dělitelů n, které nejsou násobek čtyř. Vše vyplývá z Jacobiho třísoučinové identity.

19.3.2003 Číselné rozklady a identity pro jejich počty. Cohenova-Remmelova metaidentita: Jsou-li (A₁, A₂, ...) a (B₁, B₂, ...) dva prosté seznamy zakázaných konečných multimnožin (s prvky v N) takové, že pro každou konečnou množinu indexů S má sjednocení A_is indexy v S stejnou normu (součet prvků včetně násobností) jako totéž sjednocení multimnožin B_i, pak každé n má tolik rozkladů neobsahujících žádnou multimnožinu A_i jako rozkladů neobsahujících žádnou multimnožinu B_i. Aplikace: 1) n má tolik rozkladů na nečtverce jako rozkladů, v nichž má část p násobnost menší než p, 2) (Glaisher, d = 2 je Euler) n má tolik rozkladů na nenásobky d jako rozkladů, v nichž má každá část násobnost menší než d, a další dvě identity podobného stylu.

26.3. 2003 Tři asymptotické výsledky o počtech číselných rozkladů. 1. p(n) < (pi/(6n-6)^1/2).exp(pi.(2n/3)^1/2), kde p(n) je klasická rozkladová funkce. Komentář: přesná asymptotika Hardyho a Ramanujana (1918) má před exponenciálou faktor 1/(4n.3^1/2). Vypsání přesné Hardy-Ramanujan-Rademacherovy formule (1937) pro p(n), kterou to znovu psát nebudu. 2. Pro pevné k máme p_k(n) ~ n^k-1/(k!.(k-1)!), kde p_k(n) je počet rozkladů n na presně k částí (ekvivalentně, na části z {1, 2, ..., k}). 3. Zobecnění: Je-li A = {a₁, a₂, ..., a_k} množina vesměs nesoudělných přirozených čísel a p_A(n) označuje pocet rozkladů n na části z A, pak p_A(n) = (a₁.a₂...a_k.(k-1)!)^-1.n^k-1 + O(n^k-2).

2.4.2003 Přehled důkazu šnirelmanovy Věty 1 (L. G. šnirelman, 1930): Každé přirozené číslo větší než 1 je součet omezeně mnoha prvočísel. Tvrzení 2 (š-ova nerovnost): š(A+B) >= š(A) + š(B) - š(A).š(B) (A a B jsou podmnožiny N₀ obsahující nulu a š(.) je š-ova hustota). Věta 3: Pokud š(A) > 0, je A aditivní bazí. Tvrzení 4: Je-li r(n) počet vyjádření n jako součtu dvou prvočísel, potom r(n) << (n/log² n).součin(1+1/p), kde se násobí přes všechny prvočinitele p čísla n. Tvrzení 5: Množina P + P s přidanou jedničkou, kde P je množina prvočísel, má kladnou š-ovu hustotu. T2 -> V3, T4 -> T5, V3 a T5 -> V1. Vše jsme si dokázali, vyjma Tvrzení 4, jehož důkaz je obtížný (ale elementární).

9.4.2003 Komentář k různým výsledkům souvisejícím se š-ovou větou. Věta (Romanov, 1934): Pro každé celé číslo a > 1 má množina čísel {p + a^k: p prvočíslo, k in N}U{1} kladnou š-ovu hustoru. Důkaz je podobný důkazu š-ovy věty.

16.4.2003 Začínáme dokazovat Dirichletovu větu (podle knihy J.-P. Serreho A Course in Arithmetic): Pro každá dvě kladná nesoudělná celá čísla a, b existuje nekonečně mnoho prvočísel kongruentních b modulo a. Nejprve pro ilustraci speciální případ a = 4, b = 1 a 3 - Euklidův důkaz a Eulerův důkaz pomocí dvou funkcí L(s, chi₁) a L(s, chi₃). Definice grupy charakterů konečné Abelovy grupy, hlavní charakter.

23.4.2003 Tvrzení 1 (vlastnosti charakterů): charaktery grupy G tvoří Abelovu grupu stejného řádu (duál grupy G), evaluační zobrazení x -> (chi -> chi(x)) je izomorfismus G a dvojitého duálu G, pro a prvek G a chi charakter G platí identita součin(1 - chi(a).x) = (1 - x^f)^g(násobíme přes duál grupy G, f je řád prvku a a g = |G|/f). Tvrzení 2: ortogonalita charakterů. Dále chi je vždy charakter modulo m, tj. charakter grupy (Z/mZ)^*. Dirichletova L-funkce L(s, chi). Tvrzení 3: a) když chi není hlavní, L(s, chi) konverguje a je holomorfní v Re(s) > 0, b) L(s, 1) = c/(s-1) + F(s), kde F(s) je holomorfní v Re(s) > 0.

30.4.2003 Dodatky k minulé přednášce (např. Lemma: Nechť 0 < a < b a Re(z) = x>0, potom |e^-az- e^-bz| <= |z/x|.(e^-ax- e^-bx).) Tvrzení 4: Dirichletova funkce a₁.1^-s + a₂.2^-s + ... s nezápornými reálnými a_nmá singularitu v abscise konvergence (zatím bez důkazu). Tvrzení 5: V Re(s) > 1 máme identitu součin L(s, chi) = součin 1/(1 - p^-f(p)s)^g(p), kde vlevo násobíme přes charaktery modulo m a vpravo přes prvočísla nedělící m, f(p) je řád p modulo m a g(p) = fi(m)/f(p). Tvrzení 6: L(1, chi) není 0 pro žádný nehlavní charakter chi.

7.5.2003 Dokončení důkazu Dirichletovy věty. Hned plyne z Tvrzení 7: Je-li chi charakter mod m, pak f_chi(s) = chi(2)/2^s + chi(3)/3^s + chi(5)/5^s + ... pro hlavní chi jde pro s -> 1⁺ do oo a pro nehlavní chi je f_chi(s) omezená. Přednáška zkrácena.

14.5.2003 Prednáška odpadla kvůli Jarní škole z kombinatoriky.

21.5.2003 Hardy-Ramanujanova věta z r. 1917 (obvykle přednášená v Úvodu, ale loni ji vzaly povodně): Skoro všechna n mají log(log n) prvočinitelů, lhostejno, zda jsou počítány s násobnostmi či bez nich. Důsledek: Skoro všechna n mají (log n)^{log 2} dělitelů. Poznámy o různých "formulích" pro prvočísla. Důkaz Wrightovy formule: Existuje reálné číslo a > 0 takové, že pro každé n je číslo [2^(2^(...(2^a)...))] (n dvojek, [x] je celá část čísla x) prvočíslo.

květen 2003