Požadavky ke zkoušce z Matematické Analýzy III

Zkouška se skládá ze 120 minutové písemky o 4 příkladech a výsledná známka 
je plně určena výkonem v písemce, s přihlédnutím k bodům z bonifikačních 
testů. Ústní dozkoušení následuje jen v nerozhodných případech. 

1. příklad: jeden početní příklad na extrémy funkcí nebo na implicitní 
funkce nebo na diferenciální rovnice.

2. příklad: jedna otázka z okruhu A níže (definice a tvrzení bez důkazů).

3. příklad: jedna otázka z okruhu B níže (tvrzení a věty s důkazem).

4. příklad: jedna otázka z okruhu B níže (tvrzení a věty s důkazem).

U písemky nejsou povoleny žádné písemné materiály a technické pomůcky 
(mobil, notebook atd.), jen hlava, tužka a papír!

Hodnocení. Příklad i je ohodnocen známkou p_i=1,2,3 nebo 4 a máte celkem b bodů 
z obou bonifikačních testů. Výsledná známka pak je zaokrouhlený průměr

  p_1+p_2+p_3+p_4+min(b/5,2)
 ----------------------------.
          4+min(b/5,2)

Tj. maximální možný zisk z bonif. testů je roven dvěma dalším příkladům 
v písemce napsaným za 1. 

******************************************************************************

A) Přehled látky bez důkazů

Kapitola 1

1. Metrický prostor, otevřené a uzavřené množiny, uzávěr, limitní 
bod, hraniční bod.

2. Konvergence posloupnosti v metr. prostoru, cauchyovská posloupnost
v metr. prostoru, podprostory a součiny metr. prostorů.

3. Topologický prostor, metrizovatelný top. prostor, okolí bodu, hausdorffovská 
topologie. 

4. Podprostor top. prostoru, báze topologie, nutná a postačující podmínka
pro bázi (bez důkazu), součin top. prostorů. 

5. Spojité zobrazení mezi top. prostory, homeomorfismus, vlastnosti 
spojitých zobrazení na kompaktních množinách (bez důkazu). 

6. Otevřené pokrytí, kompaktní topologický prostor, charakterizace kompaktních 
podmnožin euklidovského metrického prostoru R^n (bez důkazu).

7. Obojetná množina, souvislý top. prostor, obloukově souvislý top. prostor.

8. Úplný metrický prostor, úplnost versus operace podprostoru, 
obrazu spoj. zobrazením a kartézského součinu (bez důkazu), kontrahující 
zobrazení.

Kapitola 2

9. Normovaný vektorový prostor, skalární součin, Cauchyova-Schwarzova 
nerovnost (bez důkazu), Hilbertův prostor. 

10. Derivace ve směru, parciální derivace, gradient, diferenciál.

11. Tvar diferenciálu (tvrzení 2.3, bez důkazu), Jacobiho matice zobrazení.

12. Tečná rovina ke grafu funkce f(x,y).

13. Jacobiho matice složeného zobrazení, parciální derivování složené funkce.

14. Parciální derivace vyšších řádů, Hessova matice, kritérium lokálního 
extrému (věta 13, bez důkazu)

15. Věta 14 (o implicitních funkcích), bez důkazu.

16. Aplikace věty o implicitních funkcích (důsledky 15 a 16), bez důkazu.

17. Věta 17 (kritérium lokálního vázaného extrému), bez důkazu.

Kapitola 3

18. Obyčejná diferenciální rovnice 1. řádu s počáteční podmínkou, 
věty o existenci řešení (věty 1 a 2, bez důkazu).

19. Převod rovnice n-tého řádu na soustavu rovnic prvého řádu, 
soustava lin. rovnic 1. řádu a věta o existenci řešení (věta 5, bez důkazu).

20. Popis komplexního a reálného FSŘ lin. dif. rovnice řádu n s konst. 
koeficienty (bez důkazu). 

***************************************************************************

B) Tvrzení a věty vyžadované s s důkazy

Kapitola 1

1. Tvrzení 1 (vlastnosti otevřených a uzavřených množin) a Tvrzení 2 
(X je uzavřená <-> rovná se svému uzávěru).

2. Tvrzení 3 (a je v uzávěru X <-> je limitou posloupnosti bodů z X)

3. Tvrzení 4 (kritérium spojitosti zobrazení mezi top. prostory) a 
Tvrzení 5 (spojitost složeniny spojitých zobrazení mezi top. prostory).

4. Tvrzení 6 (kompakt v hausdorffovské topologii) a Věta 7.1 (uzavřený podprostor
v kompaktní topologii).

5. Věta 7.2 (kompaktnost a obraz spojitým zobrazením) a věta 7.3 (kartézský součin 
a kompaktnost). 

6. Věta 8 (metr. prostor je kompaktní, právě když ...).

7. Věta 12 (charakterizace souvislých podmnožin reálné přímky). 

8. Věta 13 (souvislost a obraz spoj. zobrazením, souvislost a součin). 

9. Věta 15 (otevřená a souvislá množina v R^n je obloukově souvislá).

10. Věta 17 (věta o pevném bodu kontrahujícího zobrazení). 

Kapitola 2

11. Tvrzení 4 (kdy parc. derivace dávají diferenciál). 

12. Tvrzení 5 (věta o střední hodnotě pro funkci více proměnných) a 
Důsledek 6 (nulovost diferenciálu implikuje konstantnost).

13. Věta 8 (diferenciál složeného zobrazení).

14. Tvrzení 10 (záměnnost parc. derivací).

15. Tvrzení 12 (Taylorův rozvoj funkce více proměnných). 

16. Věta 13 (kritérium lokálního extrému). 

17. Důsledek 16 (Lagrangeovy multiplikátory).

18. Důkaz Základní věty algebry. 

Kapitola 3

19. Věta 1 (o lokální existenci a jednoznačnosti řešení ODR 1. řádu), 
viz věta 18 z kapitoly 1.

20. Odvoďte formuli pro řešení lineární dif. rovnice a formuli 
pro řešení rovnice se separovanými proměnnými.

21. Tvrzení 4 (o exaktnosti rovnice M+Ny' a tvaru funkce fi(x,y)). 

22. Tvrzení 6 (o tvaru množiny řešení homogenní i nehomogenní 
lineární soustavy) a tvrzení 7 (o nulovosti wronskiánu řešení
lineární soustavy).

23. Tvrzení 8 (variace konstant pro nehomogenní soustavu) 
a lemma 9 (jisté funkce jsou řešení lin. dif. rovnice řádu n s konst. 
koeficienty).

*******************************************************************