A, B, . . . jsou (nekonecne) podmnoziny {0, 1, 2, . . . }, s(A) je Snirelmannova hustota = inf A(n)/n, kde se infimum bere pres n=1, 2, . . . a A(n) je pocet prvku A v {1, 2, . . . , n}.
18.2. - Snirelmannova veta: s(A) > 0 -> A je aditivni baze .
25.2. - Mannova veta: s(A+B) >= min(1 , s(A)+s(B)).
4.3. - Erdosova veta: je-li B baze radu h a A je libovolna, pak s(A+B) >= s(A)+(1/2h)s(A)(1-s(A)).
11.3. - Lorentzova veta: ke kazde A existuje "utla doplnkova" B - A+B jsou skoro vsechna prir. cisla a soucasne B(n) < c.(log A(1)/A(1) + ... + log A(n)/A(n)).
V dalsim se podivame na maximalni velikosti konecnych i nekonecnych Sidonovych mnozin. Mnozina prir. cisel A je Sidonova, pokud kazde prir. cislo n ma nejvyse jedno vyjadreni n = a+b, kde a <= b jsou prvky A.
18.3. - Erdosova-Turanova veta o maximalni velikosti konecne S. mnoziny: pro max. velikost F(n) S. podmnoziny {1, 2, . . . ,n} plati n^{1/2} - c1.n^{5/16} < F(n) < n^{1/2} + c2.n^{1/4} , kde c1, c2 jsou kladne konstanty.
25.3. - Dolni odhad v Erdosove-Turanove vete. Vysledky o nekonecnych S. mnozinach, zejmena (Erdos) : pocitaci funkce A(n) S. mnoziny A splnuje nerovnost A(n) < c (n/log n)^{1/2} nekonecne casto ( konstanta c > 0 je absolutni ).
Mnozina prir. cisel je primitivni, nedeli-li zadny jeji prvek jiny jeji prvek.
1.4. - Primitivni mnozina ma nulovou logaritmickou hustotu ( tj. suma reciprokych hodnot jejich prvku nepresahujicich n je o(log n) ). Behrendova veta: tato suma je dokonce O(log n / (log log n)^{1/2}) ( konstanta je absolutni).
8.4. - Z predchoziho vysledku plyne, ze mnozina s kladnou horni log. hustotou nutne obsahuje prvky a a b, ze a deli b. Plati mnohem vice, Davenportova-Erdosova veta pravi: ma-li mnozina A kladnou horni log. hustotu, obsahuje nekonecnou podposloupnost, ktera je linearne usporadana delitelnosti.
15.4. - Jarni kombinatoricka skola v Borovych Ladech.
Zde koncime s knihou Sequences. Podivame se na 5 uloh, v nichz se objevuji Bernoulliova cisla. Ta zavedl Jacob Bernoulli (1654-1705) ve spisu Ars Conjectandi (1713).
22.4. - Uloha 1: zobecneni vzorcu pro soucty mocnin 1+2+3+ ... +(n-1) = n(n-1)/2 , 1^2+2^2+ ... +(n-1)^2 = n(n-1)(2n-1)/6 , ... (Puvodni Bernoulliova motivace). Uloha 4: nahrada sum integraly (Eulerova-MacLaurinova souctova formule).
29.4. - Uloha 2: hodnoty zeta-funkce pro nekladna cela cisla a kladna suda cisla. Uloha 3: Kummeruv vysledek o Fermatove hypoteze (bez dk.). Von Staudtova veta (bez dk.).
6.5. - Uloha 5: pocitani stridavych permutaci cisel 1, 2, ... , n (to jsou permutace typu 623154, 534162, 214365, ...). Pocitani rozrezani mnohouhelnika (Schroederova cisla).
13.5. - Trochu o asymptotice poctu str. permutaci a Schr. cisel. Pocitani zakorenenych rovinnych stromu (Catalanova cisla) a poctu kostat v nich.
13. kvetna 1997