NMAI040 - Úvod do teorie čísel

Přednáška se koná ve čtvrtek od 15:40 v posluchárně S1 (Malá Strana). Existuje k ní můj učební text (v angličtině), podle kterého budu přibližně postupovat.

Otázky ke zkoušce: 1a. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace. 1b. Fareyovy zlomky. 1c. Existence transcendentních čísel (Liouvilleova nerovnost). 1d. Transcendence čísla e. 2a. Teorie Pellovy rovnice. 2b. Věta o čtyřech čtvercích. 3a. Minkowského věta a její aplikace. 4a. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce. 4b. Hardyova-Ramanujanova věta o normálním řádu funkcí omega(n) a Omega(n). 5a. Teorie kvadratických zbytků (bez důkazu zákona reciprocity). 5b. Kvadratický zákon reciprocity. 6a. Eulerova pentagonální identita pro číselné rozklady.

1. přednáška 9. 10. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta a její aplikace na vyjádření prvočísel p=4n+1 součtem dvou čtverců. Důkaz holubníkovým principem a pomocí Fareyových zlomků, důkaz věty o F. zlomcích příště.

2. přednáška 16. 10. Přednáška odpadla (služební cesta přednášejícího).

3. přednáška 23. 10. Věta o F. zlomcích. Řetězové zlomky a jejich vlastnosti, třetí důkaz Dirichletovy věty.

4. přednáška 30. 10. Algebraická a transcendentní čísla. Liouvileova nerovnost. Algebraická čísla tvoří těleso. Transcendence čísla e, dokončení příště.

5. přednáška 6. 11. Dokončení důkazu transcendence čísla e. 2. Diofantické rovnice. Povídání o 10. Hilbertově problému, Fermatově poslední větě a Catalanově domněnce. Lagrangeova věta o existenci netriviálního řešení Pellovy rovnice.

6. přednáška 13. 11. Struktura řešení Pellovy rovnice: tvoří nekonečnou cyklickou grupu. Informativně o Thueho rovnici a Thueho nerovnosti a Rothově větě. Lagrangeova věta o čtyřech čtvercích, začátek důkazu. Informativně o Jacobiho identitě.

6. přednáška 20. 11. Dokončení důkazu Lagrangeovy věta o čtyřech čtvercích. 3. Geometrie čísel. Mřížky, základní rovnoběžníky, objem mřížky. Důkaz vlastnosti Fareyových zlomků pomocí mřížek. Minkowskiho věta, důkaz a aplikace příště.

7. přednáška 27. 11. Důkaz Minkowskiho věty. Aplikace: Lagrangeova věta o 4 čtvercích pomocí čtyřrozměrné mřížky. 4. Prvočísla. Tři důkazy nekonečnosti počtu prvočísel: Euklidův, Goldbachův a Eulerův.

8. přednáška 4. 12. Modifikace Eulerova důkazu: součet převrácených hodnot prvočísel nepřesahujících x je > loglog x - c, též prvočíselná funkce pi(x) = o(x) (Legendreovo síto). Čebyševovy odhady prvočíselné funkce. Průměrná hodnota funkce d(n) (počet dělitelů čísla n) - začátek důkazu.

9. přednáška 11. 12. Průměrné a normální řády aritmetických funkcí d(n), omega(n) a Omega(n): Hardyho-Ramanujanova věta (normální řád omega(n) a Omega(n) je loglog n), bez důkazu, a odvození z ní normálního řádu funkce d(n) (zhruba (log n)^{log 2} ). Dirichletova věta (průměrný řád funkce d(n) je log n + gamma), lemma o harmonických číslech zatím nedokázáno. Poznámky o kruhovém problému a problému dělitelů.

10. přednáška 18. 12. Důkaz Hardyho-Ramanujanovy věty, za predpokladu, že máme asymptotiku 1/2 + 1/3 + ... + 1/p = loglog x + O(1), kde p je největší prvočíslo nepřesahující x. 5. Kongruence. Teorie kvadratických zbytků. Muliplikativita Legendreova symbolu (ab/p) = (a/p)(b/p) a Eulerovo kritérium (a/p) = a^{(p-1)/2} modulo p.

11. přednáška 8. 1. Gaussovo lemma v teorii kvadratických zbytků, důkaz 2. doplňku zákona reciprocity, že (2/p) = (-1)^{(p^2 - 1)/8}. Důkaz zákona reciprocity (p/q) = (q/p)(-1)^{(p - 1)(q - 1)/4}, podle článku W. Castryck, A shortened classical proof of the quadratic reciprocity law. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 6, 550-551.

12. přednáška 15. 1. 6. Číselné rozklady. Eulerova pentagonální identita, důkaz pomocí Ferrersových diagramů.

leden 2009