Přednáška se konala v úterý v 19:15-20:45 v S6.

Letos sepisuju k přednášce učební text (tato verze ještě není úplně konečná) v angličtině, a proto je obsah přednášky uveden níže jen stručně. Všechno bude v tomto textu.
1. přednáška 12.10.2004. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta o aproximaci iracionálního čísla zlomky. Její aplikace na důkaz věty o dvou čtvercích (každé prvočíslo p=4n+1 je součet dvou čtverců). Důkaz lemmatu, že pro každé prvočíslo p=4n+1 je -1 kvadratickým zbytkem. Fareyovy zlomky a hlavní věta o nich. Odvození Dirichletovy věty z hlavní věty o Fareyových zlomcích. Formulace Hurwitzovy věty (nejlepší zesílení Dirichletovy věty).
2. přednáška 19.10.2004. Důkaz Hurwitzovy věty. Rozvoj reálného čísla do řetězového zlomku. Dvě lemmata o sblížených zlomcích. Základní vlastnosti řetězového rozvoje (dávající např. třetí důkaz Dirichletovy věty). Poznámky: řetězové rozvoje čísel e a pi. 
3. přednáška 26.10.2004. Poznámky o zesílení Dirichletovy nerovnosti. Lagrangeova věta (řet. zlomek čísla a je od určitého okamžiku periodický, právě když a je kvadratická iracionalita), bez důkazu. Liouvilleova nerovnost a její důsledek (Liouvilleova čísla jsou transcendentní). Poznámka o zesíleních  L. nerovnosti (Thueho a Rothova věta). Hilbertův důkaz transcendence čísla e. 
4. přednáška 2.11.2004. 2. Diofantické rovnice. Obecné poznámky o diofantických rovnicích (Hilbertův desátý problém, Fermatova poslední věta čili FPV, Catalanova domněnka). Teorie Pellovy rovnice (Lagrangeova věta o existenci netriviálního řešení, grupová struktura na množině řešení). Zobecněná Pellova rovnice. Thueho rovnice (jen definice). 
5. přednáška 9.11.2004. Odvození věty o Thueho rovnici (každá diof. rovnice F(x, y) = m, kde m je celé číslo a F je celočíselná ireducibilní forma stupně alespoň 3, má jen konečně mnoho celočíselných řešení x, y) z Thueho nerovnosti pro algebraická čísla. FPV pro exponenty n =2 a n = 4. Stothers-Masonova věta o polynomech (důkaz příště) a odvození FPV pro polynomy.
6. přednáška 16.11.2004. Důkaz Stothers-Masonovy věty. ABC domněnka, odvození asymptotické FPV z ABC domněnky. 3. Geometrie čísel. Mřížky a základní definice o mřížkách. Nezávislost objemu základního rovnoběžníku mřížky na volbě báze. Důkaz Cauchyho věty o Fareyových zlomcích pomocí rovinných mřížek. Minkowskiho věta o konvexním tělese. 
7. přednáška 23.11.2004. Dva důkazy Lagrangeovy věty o 4 čtvercích (pro každé nezáporné celé číslo n má rovnice n = a2 + b2+ c2+ d2 celočíselné řešení): geometrický pomocí Minkowskiho věty a aritmetický pomocí Eulerovy čtyřčtvercové identity. Gaussova věta o asymptotice sumy r2(1) + r2(2) + ... + r2(m), kde r2(m) je počet vyjádření m součtem dvou čtverců; důkaz příště.
8. přednáška 30.11.2004. Důkaz Gaussova odhadu. Dirichletův odhad v problému dělitelů: d(1) + d(2) + ... + d(m) = m.log(m) + (2g - 1)m + O(m1/2). 4. Prvočísla. Čtyři důkazy nekonečnosti jejich počtu: Euklidův, Goldbachův, Eulerův a Erdosův. Čebyševův odhad cx / log(x) < pi(x) < dx / log(x) (0 < c< d jsou konstanty a pi(x) je prvočíselná funkce): důkaz první nerovnosti, druhá příště. 
9. přednáška 7.12.2004. Druhá Čebyševova nerovnost. Lemma o von Mangoldtově funkci. Parciální sumace. Mertensovy formule: (i) součet log p / p = log x + O(1), (ii) součet 1 / p = log log x + c + O(1 / log x) (v(i) a (ii) se sčítá přes prvočísla nepřesahující x), (iii) součin (1 - 1 / p) = (1 + O(1 / log x)).c / log x (násobí se opět přes prvočísla nepřesahující x). Průměrné hodnoty funkcí omega(n) a Omega(n) (počítají prvočinitele n); důkaz příště.
10. přednáška 14.12.2004. Průměrné hodnoty funkcí omega(n) a Omega(n). Věta Hardyho a Ramanujana o normálním řádu funkcí omega(n) a Omega(n). Aplikace: (i) na normání řád funkce počet dělitelů d(n) a (ii) na úlohu o násobilce (kolik je různých součinů ab probíhají-li a a b čísla 1, 2, ..., x). 5. Kongruence. Definice kvadratického (ne)zbytku a Legendreova symbolu. Mod p > 2 je stejně mnoho kv. zbytků jako nezbytků. 
11. přednáška 21.12.2004. Důkaz odhadu jedné sumy z asymptotiky průměrného řádu funkce Omega(n). Základní vlastnosti Legendreova symbolu (Eulerovo kritérium, multiplikativita). Gaussovo lemma. První a druhý doplněk kvadratického zákona reciprocity. 
12. přednáška 4.1.2005. Důkaz dvou lemmat (reciprocita sumy S(a, b) a(a/p) = (-1)S(p, a)) a důkaz zákona reciprocity. 6. Číselné rozklady. Počty kompozic čísla n. Rozklady čísla n. Generující funkce pro počet rozkladů p(n). GF pro počty rozkladů s částmi z předepsané množiny. Ferrersův diagram rozkladu. Konjugované rozklady a identita pro ně. Eulerova identita (počet rozkladů n na různé části je týž jako počet rozkladů n na liché části). Dva důkazy: pomocí GF a bijektivní.
13. přednáška 11.1.2005. Cohenova-Remmelova metaidentita zobecňující Eulerovu identitu, její důkaz pomocí PIE a pár příkladů. Eulerova pětiúhelníková identita (3 formulace) a Franklinův důkaz Ferrersovými diagramy. Rekurence pro funkci součtu dělitelů s(n), bez důkazu.


leden 2005