Informace o přednášce a cvičení z Matematických struktur (NMAI064, vyučují A. Pultr a M. Klazar)

Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. Přednáška je v pondělí v 15:40 - 17:10 v posluchárně S5 v budově na Malostranském náměstí, cvičení následuje od 17:20 do 18:50 tamtéž. 

Literatura. Skripta prof. A. Pultra jsou zde .

Konzultační hodiny. Po dohodě. Pracovna A. Pultra i M. Klazara je v malostranské budově ve 2. patře, místnost č. 224.

Zkouška. Zkouškové termíny jsou uvedeny v SISu. Požadavky ke zkoušce z NMAI064.  

1. přednáška a cvičení 22. 2. 2016. (A. Pultr). Úvod do relací a relačních systémů, práce s nimi. Homomorfismy.

2. přednáška a cvičení 29. 2. 2016. (A. Pultr). Částečně uspořádané množiny, suprema a  infima, horní a dolní polosvazy, svazy, úplné svazy, DCPO.

3. přednáška a cvičení 7. 3. 2016. (A. Pultr). Adjunkce, dvě věty o pevných bodech. (M. Klazar). Dvě aplikace vět o pevných bodech v č. usp. množinách. 1. Cantorova-Bernsteinova věta (injekce a injekce dávají dohromady bijekci) důkaz pomocí Tarského-Knasterovy věty o p. bodu. 2. Existence neprohrávající strategie ve hře s úplnou informací, důkaz opět pomocí T.-K. věty o p. bodu.

4. přednáška a cvičení 14. 3. 2016. (M. Klazar). Dedekindovo--MacNeilleovo zúplnění. a V b , a A b jako binární operace. Modulární a distributivní svazy.

5. přednáška a cvičení 21. 3. 2016. (A. Pultr).

6. přednáška a cvičení 28. 3. 2016. Velikonoční pondělí!

7. přednáška a cvičení 4. 4. 2016. (M. Klazar). IV Základní pojmy univerzální algebry: 1. Algebraické operace; 2. Algebraické struktury, algebry; 3. Podalgebry.

8. přednáška a cvičení 11. 4. 2016. (A. Pultr).

9. přednáška a cvičení 18. 4. 2016. (A. Pultr).

10. přednáška a cvičení 25. 4. 2016. (A. Pultr).

11. přednáška a cvičení 2. 5. 2016. (M. Klazar). Topologie: Základní topologické pojmy; Příklady; Spojitá zobrazení; Základní konstrukce, zde ještě chybí kvocient a suma. Resty na příště: množinový systém je bazí nějaké topologie iff ..., Sorgenfreyova přímka nemá spočetnou bázi (na rozdíl od obyčejné euklidovské přímky).

12. přednáška a cvičení 9. 5. 2016. (A. Pultr). Topologie až po kompaktnost.

13. přednáška a cvičení 16. 5. 2016. (M. Klazar). Tvrzení: kdy je množinový systém báze nějaké topologie, důkaz jako cvičení. Sorgenfreyova přímka nemá spočetnou bázi, důkaz. Definice kompaktního TP. Uz. podpr. komp. TPu  je komp. a spoj. obraz komp. množiny je komp., důkaz. Alexandrovo lemma, důkaz. I = [0, 1] je komp., důkaz. Tichonovova věta (součin komp. TPů je komp. TP), důkaz. V Hausd. TP je komp.  množina uz., důkaz a  důsledky. Aplikace Tichonovovy věty: de Bruijnova-Erdosova věta o kompaktnosti barevnosti (je-li každý konečný podgraf grafu G řádně c-obarvitelný, je řádně c-obarvitelný i G), důkaz. Nelsonův-Hadwigerův problém: barevnost grafu jednotkových vzdáleností v rovině je 4 nebo 5 nebo 6 nebo 7, důkaz dolní meze. Komp. Hausd. TP je norm., důkaz. Definice Lindelofova TP a tvrzení, že reg. Lind. TP je norm., důkaz příště.

14. přednáška a cvičení 23. 5. 2016. (M. Klazar).  Důkaz, že reg. Lind. TP je norm. Souvislé TPy. Definice, obojetné množiny. I=[0, 1] je souv., důkaz. Spoj. obraz souv. množiny je souv., důkaz. Uzávěr souv. podmn. je souv., důkaz. Tvrzení o kombinatorické souvislosti: je-li průnikový graf systému souv. podmnožin v daném TPu grafově souv., je sjednocení těchto podmnožin souv., důkaz. Věta: libovolný součin souv. TPů je souv., důkaz.  Křivková souvislost, definice.  Implikuje souvislost, dva důkazy. Příklad souv., ale ne křivkově souv. TPu. Je to i příklad souv., ale ne lokálně souv. prostoru. Zmínka, že čtverec [0, 1]^2 lze rozložit na dvě souv. množiny, z nichž každá protíná všechny čtyři strany čtverce. Zpátky ke kompaktnosti - zmínka o Čechově--Stoneově kompaktifikaci: každý úplně reg. T1 prostor X lze hustě vnořit do komp. Hausd. prostoru b(X) tak, že každé spoj. zobr. z X do komp. Hausd. prostoru Y se pomocí tohoto vnoření zvedne na spoj. zobr. z b(X) do Y (bez důkazu). Pomocí b(N), kde N = {1, 2, ...} s diskr. topologií, se dokazují různé ramseyovky, např. Hindmanova věta nebo nověji Moreirova věta: každé konečné obarvení {1, 2, ...} obsahuje stejnobarevnou trojici {x, x + y, xy}. Lze ji ale dokázat i elementárně bez použití topologie (taktéž Hindmanovu) - koho zajímá jak, může si to přečíst v preprintu v arXivu nebo i zde.


květen 2016