Informace o přednášce Matematická analýza III (MAI056)

Doba a místo. Přednáška se koná ve středu v 15:40 - 17:10 v posluchárně S5 v budově na Malostranském náměstí.

Sylabus a literatura. Je (či bude) uvedeno v SISu.

Cvičení a cvičící. K mé paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. ,  RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D a cvičím i já. Zápočet ze cvičení je nutný pro  připuštění ke zkoušce. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních a za přiměřený výkon v písemných testech, podle upřesnění cvičící(ho).

Zkouška. Na vypsané zkouškové termíny se můžete přihlašovat v SISu (na přihlášení zápočet nutný není, ale pro vlastní zkoušku ano). Požadavky ke zkoušce z MAI056 . 
1. přednáška 30. 9. 2009. 1. Metrické prostory. Metrický prostor, izometrie. Příklady metr. prostorů (lp metrika a její speciální případy: euklidovská, pošťácká a maximová, grafová metrika, vzdálenost bodů na sféře, Hammingova metrika, ...), pojem ultrametriky (nearchimedovské metriky). Koule, otevřené a uzavřené množiny v metr. prostoru a jejich vlastnosti (bez důkazu, byl v LS). Z uzavřené množiny nelze vykonvergovat (bez důkazu, byl v LS). Vnitřní, vnější, hraniční, limitní a izolované body množiny, příklad. Zde je  text této 1. přednášky před 2 lety.
2. přednáška 7. 10. 2009. Uzávěr množiny, jeho ekvivalentní definice. Ekvivalentní metriky. Podprostory a součiny prostorů. Spojitá zobrazení mezi metrickými prostory. Tvrzení: f je spojité, právě když je každá množina f^{-1}(otevřená množina) otevřená, důkaz. Homeomorfismus, příklady. Definice kompaktního metr. prostoru, resp. kompaktní množiny v metr. prostoru. Spojitá funkce nabývá na kompaktní množině největší hodnotu, důkaz. Zde je  text této 2. přednášky před 2 lety.
3. přednáška 14. 10. 2009. Tvrzení: kompaktnost se zachovává přechodem k uzavřenému podprostoru, obrazem spojitým zobrazením a kartézským součinem, důkaz. Tvrzení: kompaktní množina je uzavřená a omezená, důkaz. Příklady omezených (a automaticky uzavřených) avšak nekompaktních metrických prostorů. Věta: v každém euklidovském prostoru R^n ale každá uzavřená a omezená podmnožina kompaktní je, důkaz. Věta: spojité zobrazení f: M_1 --> M_2 mezi metr. prostory, M_1 je kompaktní, (i) nabývá maxima i minima, (ii) je nutně stejnoměrně spojité a (iii) je-li to bijekce, je inverzní zobrazení f^{-1}: M_2 --> M_1 nutně spojité, důkaz ((ii) dáno jako cvičení). Věta: topologická formulace kompaktnosti, tj. podmnožina X metr. prostoru je kompaktní, právě když má každé pokrytí X otevřenými množinami konečné podpokrytí, bez důkazu. Zde je  text této 3. přednášky před 2 lety.
4. přednáška 21. 10. 2009. Základní věta algebry (ZVA): každý nekonstantní polynom s komplexními koeficienty má kořen, důkaz za pomoci věty o nabývání extrému spojité funkce na kompaktní množině. Podrobněji: Je-li p(z) nekonstantní komplexní polynom, potom (i) pro každé c > 0 existuje r > 0, že pro každé komplexní z se |z| > r je |p(z)| > c, a (ii) pokud |p(u)| > 0 (tj. u není kořen p), pak existuje v, že |p(v)| < |p(u)|. Z (i) a (ii) snadno plyne, že funkce z |--> |p(z)| nabývá v nějakém bodě u minima na celém C a že nutně |p(u)| = 0, tj. u je kořenem p. Dokázali jsme si podrobně i (i) a (ii). Definice úplného metrického prostoru, pár příkladů, ty zajímavější příště. Viz 3. přednáška před 2 lety (ZVA je v ní dokázaná na konkrétním příkladu, letos jsem důkaz podal pro obecný polynom p(z)) a  4. přednáška před 2 lety.
28. 10. 2009 přednáška odpadá kvůli státnímu svátku.
5. přednáška 4. 11. 2009. Úplné metrické prostory. Příklady. Tvrzení: úplnost se zachovává přechodem k uzavřenému podprostoru a kartézským součinem, cvičení. Banachova věta o pevném bodu, důkaz. Dvě její aplikace: Newtonova numerická metoda pro hledání kořene a Picardova věta o existenci řešení diferenciální rovnice, bez důkazu. Viz  text  4. přednášky před 2 lety.
6. přednáška 11. 11. 2009. 2. Posloupnosti a řady funkcí. Bodová, stejnoměrná a lokálně stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí, příklady. Tvrzení: Bolzanova-Cauchyova podmínka pro posloupnost funkcí, důkaz. Tvrzení: 1. lokálně stejnoměrná konvergence implikuje stejnoměrnou konvergenci na každé kompaktní podmnožině a 2. Diniho věta (monotónní konvergence spojitých funkcí ke spojité funkci na kompaktní množiné implikuje stejnoměrnou konvergenci), bez důkazu. Věta (Moore-Osgood): lim_{n-->oo} lim_{x-->x_0} f_n(x) = lim_{x-->x_0}  lim_{n-->oo}f_n(x), jsou-li vnitřní limity definované a konvergence f_n --> f je stejnoměrná, důkaz. Důsledek: stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá funkce. Viz str. 32-38 učebního textu k přednášce před 2 lety.
7. přednáška 18. 11. 2009. Stejnoměrná konvergence je totéž jako konvergence v supremové metrice. Metrický prostor (omezené funkce, sup. metrika) je úplný a spojité funkce jsou jeho uzavřenou podmnožinou. Věta o záměně limity a integrálu, důkaz. Věta o o záměně limity a derivace, bez důkazu. Weierstrassova věta o aproximaci spojité funkce polynomem, bez důkazu. Řady funkcí. Weierstrassovo kritérium stejnoměrné konvergence řady funkcí, důkaz. Viz str. 38-45 učebního textu k přednášce před 2 lety.
8. přednáška 25. 11. 2009. Věty o záměně sumace s limitou v bodě, s integrováním a s derivováním. Příklady na tyto věty. Abelovo a Dirichletovo kritérium stejnoměrné konvergence, bez důkazu. Mocninné řady. Věta o poloměru konvergence, důkaz. Tvrzení o lokálně stejnoměrné konvergenci mocninné řady na intervalu konvergence, důkaz. Abelova věta, bez důkazu. Příklad na použití mocninných řad. Viz str. 44-56 učebního textu k přednášce před 2 lety.
9. přednáška 2. 12. 2009. Ještě k mocniným řadám: funkce definovaná moc. řadou je nekonečně hladká. Fourierovy řady. Trigonometrická řada, skoro skalární součin na funkcích. Tvrzení o ortogonálním systému sinů a cosinů, důkaz. Fourierovy koeficienty a Fourierova řada dané funkce. Po částech hladké funkce. Dirichletova věta: je-li f (x) po částech hladká na [-pi, pi] a 2pi-periodická, pak její F. řada bodově konverguje k funkci (f(x+0) + f(x-0))/2, důkaz příště. Věta: je-li navíc f(x) spojitá, je konvergence její F. řady (k f(x)) stejnoměrná, bez důkazu. Besselova nerovnost, dokončení příště. Viz str. 56-61 učebního textu k přednášce před 2 lety.
10. přednáška 9. 12. 2009. Důkaz Besselovy nerovnosti. Důkaz Dirichletovy věty o bodové konvergenci F. řady po částech hladké funkce. Viz str. 60-65 učebního textu k přednášce před 2 lety.
11. přednáška 16. 12. 2009. 3. Úvod do komplexní analýzy (mocninné řady v komplexním oboru). Na úvod příklad použití komplexní analýzy v kombinatorice: množina přirozených čísel N = {1, 2, 3, ...} se nedá rozložit na alespoň dvě neprotínající se aritmetické posloupnosti {a, a + d, a + 2d, ...} se vzájemně různými diferencemi d. (Třeba v tomto rozkladu se třemi posloupnostmi, na sudá čísla {2, 4, 6, ...}, čísla tvaru 4n + 1, tj. {1, 5, 9, ...}, a čísla tvaru 4n + 3, tj. {3, 7, 11, ...}, jsou diference po řadě 2, 4, 4, a 4 se tedy opakuje. Tvrzení říká, že když chceme rozklad N na alespoň dvě AP, je opakování některé diference nevyhnutelné.) Opakování vlastností oboru komplexních čísel C. Jejich zavedení jako dvojic reálných čísel, aritmetické operace. C je komutativní těleso, ale na rozdíl od R na něm nemáme přirozené uspořádání. Každé nenulové komplexní číslo má právě dvě druhé odmocniny, nula jen jednu. Připomenutí základní věty algebry. Komplexní rovina, geometrický výklad C. Geometrická interpretace sčítání a násobení v C. Kartézské souřadnice, reálná a imaginární část k. čísla. Polární souřadnice, argument a modul k. čísla. Vztahy mezi nimi. cis(fi) := cos(fi) + i*sin(fi). Příklad: řešení rovnice z^3 = 1 v C. Vzdálenost v komplexní rovině. C je vlastně  euklidovská rovina  R^2 (se strukturou reálného vektorového prostoru dimenze 2 a skalárním součinem), navíc vybavená násobením. Takže víme, co to jsou spojité funkce z C do C, popř. z M do C, kde M je otevřená podmnožina C. text 11. přednášky.
12. přednáška 6. 1. 2010. Definice derivace komplexní funkce, počítání derivací - vše formálně stejné jako v reálném oboru. Holomorfní funkce: má na dané otevřené množině derivaci. Mocninné řady v komplexním oboru. Poloměr konvergence, vzorec pro něj. Lokálně stejnoměrná konvergence m. řady na disku konvergence. Funkce zadaná m. řadou má na disku konvergence všechny derivace, speciálně je tam spojitá a holomorfní. To vše jsme měli už v reálném oboru. Tvrzení 6 (jež jsme v R neměli, i když jsme ho mohli a měli mít): Pokud dvě mocninné řady se středem v 0 mají jako funkce shodné hodnoty na prosté posloupnosti bodů konvergující k nule, potom tyto řady mají stejné koeficienty, důkaz příště; příklad, že bez požadavku konvergence to neplatí (sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - ... a n(x) = 0 + 0x + 0x^2 + ... splňují sin(pi) = n(pi) = 0, sin(2pi) = n(2pi) = 0, sin(3pi) = n(3pi) = 0, ...). Komplexní exponenciála exp(x) = e^x = 1 + x + x^2/2!  + x^3/3! + ... a její vlastnosti, vše bez důkazu. Analytická funkce: v okolí každého bodu z_0 dané otevřené množiny se dá vyjádřit mocninnou řadou se středem v z_0. Věta 5: funkce je na dané otevřené množině holomorfní, právě když je na ní analytická, bez důkazu ovšem. V R toto neplatí, např. funkce daná jako f(x) = 0 pro x <= 0 a f(x) = x^2 pro x >= 0 má na celém R vlastní derivaci f'(x), ale na žádném intervalu (-a, a) se nedá vyjádřit mocninnou řadou se středem v 0. Globální analytičnost: funkce se dá vyjádřit mocninnou řadou v každém disku ležícím v jejím definičním oboru. Globální analytičnost je ekvivalentní analytičnosti. Jednoduchý ale důležitý příklad s geometrickou řadou: f(x) = 1 + x + x^2 + ... je definovaná na disku konvergence D(0, 1), g(x) = 1/(1 - x) je definovaná na  C \ {1} a na D(0, 1) máme f(x) = g(x), obě funkce jsou na svých definičních oborech holomorfní. Druhý předpis tedy holomorfně rozšiřuje danou mocninnou řadu jako funkci i mimo disk konvergence. Více o takovém rozšiřování příště.  text 12. přednášky.
13. přednáška 13. 1. 2010. Důkaz tvrzení o jednoznačnosti koeficientů mocninné řady. Holomorfní rozšíření funkce, věta 7 o jeho jednoznačnosti, bez důkazu. Singularita  funkce dané mocninnou řadou. Věta 8 o singularitách: (i) funkce daná moc. řadou má na konvergenční kružnici alespoň jednu singularitu a (ii) jsou-li koeficienty reálné a nezáporné, je poloměr konvergence sám singularitou, bez důkazu. Aplikace vysledků o poloměru konvergence a singularitách v analytické kombinatorice, dva příklady: počítání stromů (Catalanova čísla) a počítání surjekcí. text 13. přednášky.

leden 2010