Informace o přednášce Matematická analýza I (NMAI054, paralelka X, vyučující M. Klazar)

Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. Přednášku mám v pondělí ve 14:00 - 15:30 v posluchárně S3 v budově na Malostranském náměstí. Druhé dvě paralelky učí kolegové J. Rataj (po 14:00 S5) a R. šámal (út 14:00 S3).

Literatura. Je uvedena v SISu (skripta prof. Pultra jsou dostupná na jeho webové straně) a v knihovnách lze nalézt celou řadu nejrůznějších učebnic matematické analýzy (v češtině i angličtině). Základní učebnice, podle níž by se přesně vyučovalo, pro tento předmět ale není. Doporučuju rovněž sledovat záznamy z přednášek, které budu níže umísťovat. Zde je pro zajímavost můj učební text k této přednášce před 2 lety, kdy ale měla dvojnásobný hodinový rozsah (4/2).

Cvičení a cvičící. K mé paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc. (út 10:40 S10, út 15:40 S10, st 15:40 T6),  RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (st 14:00 S11, čt 9:00 S10) a Bc. Václav Mácha (st 15:40 T11) (S=malostranská budova, T= budova v Troji). Zápočet ze cvičení je nutný pro  připuštění ke zkoušce. Uděluje se za přiměřenou (aktivní) účast na cvičeních a za přiměřený výkon v zápočtovém písemném testu, podle upřesnění cvičící(ho).

Informace pro studenty kombinovaného studia. S kolegy učícími zbylé dvě paralelky jsme si vás rozdělili abecedně podle příjmení takto: A-J Klazar, K-P šámal a Q-Z Rataj, toto rozdělení bude závazné hlavně pro zkoušku. Obracejte se prosím na nás podle něj (individuální přesuny jsou ve zdůvodněných případech možné).  Obecně  lze říci, že požadavky pro udělení zápočtu a ke zkoušce jsou stejné jako u prezenčního studia. Podle svých časových možností si vyberte některého cvičícího, nejlépe k odpovídající přednášce, a domluvte se s ním na podmínkách zápočtu. (Ve cvičeních k mé paralelce to bude typicky znamenat napsání zápočtového testu na daný minimální počet bodů, ale přesně to nechávám na cvičícím.)

Konzultační hodiny. Pondělí 13-14 h. a  po dohodě (klazar et kam.mff.cuni.cz). Pracovnu mám v malostranské budově ve 2. patře, místnost č. 224.
Zkouška. Zkouškové termíny jsou zveřejněny v SISu. Další termín bude vypsán ve zkouškovém období po letním semestru. Zde jsou požadavky ke zkoušce z MAI054. 
1. přednáška  1. 10. 2008. Organizační poznámky. První část - reálná čísla. Číselné obory N, Z a Q. Q je uspořádané těleso. Cantorova věta o nespočetnosti R. Skoro všechna reálná čísla nejsou algoritmicky vyčíslitelná. Text 1. přednášky. Úlohy k přednášce. 1. Odvoďte z axiomů tělesa, že v něm jsou neutrální a inverzní prvky určené jednoznačně. 2. Uveďte příklad konečného tělesa. 3. Ukažte, že uspořádané těleso je nutně nekonečné a že v něm platí vztahy 0<1 a x2 >=0 (pro každý prvek x). 4. Jsou-li množiny X1, X2, ... nejvýše spočetné, pak i jejich celkové sjednocení je nejvýše spočetná množina. 5. Dokažte, že množina všech podmnožin množiny N (přirozená čísla) je nespočetná.

2. přednáška  13. 10. 2008. Iracionalita odmocniny ze 2, dva důkazy. Horní a dolní meze množiny, maxima, minima, infima, suprema. Příklady, zejména: neprázdná a shora omezená množina zlomků, která nemá supremum. Věta o supremu: každá neprázdná a shora omezená množina reálných čísel má supremum (zatím bez důkazu). Aplikace: řešitelnost rovnice x2 = 2 v R, Cantorova věta o vnořených intervalech (dk. příště). Text 2. přednášky. Úlohy k přednášce. 1. Ukažte, že maximum (minimum, supremum, infimum) množiny je jednoznačně určené. 2. Ukažte, že sup(Y) = -inf(-Y) (zde -Y = {-y | y v Y}) a totéž pro max(Y) a min(Y). 3. Ukažte, že když je číslo z v Q \ Z (z je zlomek, který není celým číslem), pak i z2 je v Q \ Z.

3. a 4. přednáška  20. 10. 2008. Odvození věty o vnořených intervalech z věty o supremu. Důkaz věty o supremu. Axiomatická charakterizace R (R je až na izomorfismus jediné uspořádané těleso splňující axiom suprema), bez důkazu. Druhá část - posloupnosti a řady. Posloupnosti reálných čísel. Limita posloupnosti, vlastní a nevlastní. Monotóní posloupnosti. Limita je určená jednoznačně. Neklesající a shora omezená posloupnost je konvergentní. Podposloupnost. Podposloupnost má tutéž limitu. Bolzanova-Weierstrassova věta: omezená posloupnost má konvergentní  podposloupnost. Cauchyovské posloupnosti. Cauchyovskost je ekvivalentní konvergentnosti (důkaz implikace --> příště). Důkaz věty o supremu pomocí desetinných rozvojů. Zbytek 3. a 4. přednášky - viz strany 12 - 21 učebního textu. Úlohy k oběma přednáškám. 1. Úloha z pléna: komplexní čísla nelze uspořádat, aby tvořila uspořádané těleso. 2. Mezi každá dvě různá reálná čísla a<b lze vložit konečný desetinný rozvoj c, že a<c<b. 3. Dokažte nespočetnost R pomocí věty o vnořených intervalech. 1. Dokažte, že lim n1/n = 1. 2. Dokažte jednoznačnost limity (vlastní i nevlastní). 3. Sestrojte různé posloupnosti (an) a (bn), že (an) je vybraná z  (bn) a naopak. 4. Ukažte, že podposloupnost má tutéž limitu jako výchozí posloupnost.

5. přednáška  3. 11. 2008. Cauchyovskost implikuje  existenci vlastní limity.  Posloupnost 1, 1+1/2, 1+1/2+1/3, ... není cauchyovská. Tvrzení o limitě a  uspořádání, Věta o 2 policajtech a Tvrzení o limitě a aritmetických operacích. Rozšířená reálná osa R* = R sjednoceno s {-oo, +oo}, operace s nekonečny, neurčité výrazy, aritmetika nevlastních limit.  Limes superior a limes inferior posloupnosti - jen definice pomocí limit podposloupností.  Dvě standardní limity: lim na a lim qn (pro n --> oo).  Příklad: lim Fn+1 / Fn , kde Fn  jsou Fibonacciova čísla 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,... - dokončení příště. Viz strany 22 - 32 učebního textu.  Úlohy k přednášce. 1. Dokažte, že lim (an + bn) = lim an  + lim bn a že lim (1 / bn) = 1 / lim bn (pokud vlastní limity napravo od = existují a nedělíme nulou). 2.  Uveďte příklady posloupností (an) a (bn) s limitou rovnou 0, že lim an / bn neexistuje, resp. je rovná libovolně zvolenému číslu z R* . 3. Dokažte dvě standardní limity a diskutujte součinovou limitu lim (naqn) (pro n --> oo) v závislosti na parametrech a, q.

6. přednáška  5. 11. 2008. Dokončení příkladu.  Řady, konvergentní a divergentní, člen řady, částečný součet, dvojznačnost značení řad (stejně se označuje posloupnost i její limita),  příklady. Dvě důležité řady: geometrická řada 1 + q + q^2 + q^3 + ... a řada 1 + 2^s + 3^s + 4^s + ... a jejich konvergence. Tvrzení: nutná podmínka konvergence a Cauchyova podmínka konvergence (nutná a postačující). Absolutní konvergence, Tvrzení: abs. konvergence => konvergence. Příklad neabsolutně konvergentní řady 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... Leibnizovo kritérium konvergence řad se střídavými znaménky. Viz strany 32 - 36 učebního textu. Úlohy k přednášce. 1.  Dokažte, že řada a_1 + a_2 + ... konverguje, právě když pro každé e>0 existuje index N, že |a_N + a_{N+1} + ...| < e. 2. Konverguje řada 1 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/5 - 2/6 + 1/7 + 1/8 - 2/9 + ... ?

10. 11. ani 17. 11. přednáška nebyla - 10. 11. byla lin. algebra (místo 5. 11.) a 17. 11. státní svátek.

7. přednáška  24. 11. 2008. Aritmetika řad. Kritéria pro řady s nezápornými členy: srovnávací, limitní podílové, Cauchyovo odmocninové a d'Alambertovo podílové. Příklad: konvergence řady 1+1/4+1/9+1/16+... srovnáním s řadou  1/2+1/6+1/12+1/20+... .  Kritéria pro řady s kladnými i  zápornými členy, tj. kritéria neabsolutní konvergence: Dirichletovo (zobecňuje Leibnizovo) a Abelovo, bez důkazu. Přerovnání řad, přerovnání nemění ani konvergenci ani součet absolutně konvergentní řady, bez důkazu. Příště si řekneme, jak to je s přerovnáním neabsolutně konvergentní řady. Viz strany 37 - 48 učebního textu. Úlohy k přednášce. 1. Dokažte srovnávacím kritériem pomocí vhodné teleskopické řady (řady typu (a-b)+(b-c)+(c-d)+(d-e)+..., kde a, b, c, d, e, ... jdou k 0), že řada 1+1/23/2+1/33/2+1/43/2+... konverguje. 2. Najděte konvergentní řadu s kladnými členy an, že nerovnost an+1/an >1 platí pro nekonečně mnoho n. 

8. přednáška  1. 12. 2008. Riemannova věta: součet neabsolutně konvergentní řady lze přerovnáním libovolně změnit, bez důkazu. Třetí část - funkce jedné proměnné. Pojem funkce f: M --> R. Rostoucí, omezené funkce apod. Okolí bodu (i nekonečného), obyčejná a prstencová, rovněž jednostranná. Limita funkce v bodě. Příklady. Spojitost funkce v bodě. Heineho definice limity, s důkazem. Aritmetika limit funkcí, limity funkcí a uspořádání - analogické limitám posloupností, bez důkazů. Limita složené funkce, bez důkazu. Viz strany 49 - 57 učebního textu. Poznámka k definici limity funkce v bodě: Narozdíl od učebního textu na přednášce pro jednoduchost předpokládáme, že funkce je definovaná v nějakém celém prstencovém okolí daného bodu. Úlohy k přednášce. 1. Jak by se konvergentní řada 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... přerovnala, aby měla součet +oo? 2.  Nechť f:  R --> R je definovaná jako f(x) = 0 pro iracionální x a f(p/q) = 1/q pro zlomek p/q v základním tvaru. Jaká je limita f(x) v 0? Jaká v odmocnině ze dvou? Jaká v jiných bodech? 3. Ukažte na příkladu, že pokud ve větě o limitě složené funkce není splněn ani jeden z předpokladů P1 a P2, potom neplatí.

9. přednáška  8. 12. 2008. Tvrzení o limitě monotóní funkce. Spojitost se zachovává aritmetickými operacemi (pokud nedělíme nulou), takže třeba polynomy jsou spojité v každém bodě. Složenina dvou spojitých funkcí je spojitá. Spojitost funkcí na intervalu. Věta: funkce spojitá na kompaktním intervalu (tj. intervalu typu [a,b]) na něm nabývá maxima a minima, důkaz. Darbouxova věta o nabývání mezihodnot: když f(a)<e<f(b) a f je na [a,b] spojitá, pak existuje c, a<c<b, že f(c)=e, důkaz. Věta o spojitosti inverzní funkce, bez důkazu. Definice derivace, jednostranné derivace, geometrický a aproximační smysl derivace (speciálně: f'(a) existuje vlastní => f je v a spojitá). Tvrzení o aritmetice derivací: derivace lineární kombinace, součinu (Leibnizova formule) a podílu, bez důkazu. Tvrzení: derivace složené funkce, bez důkazu. Tvrzení: derivace inverzní funkce, bez důkazu. Poznámka k počítání derivací: Vzorce pro aritmetiku derivací byly na přednášce uvedeny v jednodušší formulaci pouze pro vlastní derivace, v uč. textu lze najít obecnější formulace dovolující i nevlastní hodnoty derivací. Viz strany 57 - 62, 75 - 80 učebního textu.

10. přednáška  15. 12. 2008. Přehled derivací elementárních funkcí  (exponenciála, logaritmus, mocnina, goniometrické a inverzní goniometrické funkce). Tvrzení: vztah derivace a lokálních extrémů (s důkazem),Věty  o střední hodnotě: Rolleova, Lagrangeova (s důkazy) a Cauchyova (bez důkazu),  l'Hospitalovo pravidlo (bez důkazu).Viz strany 83 - 91 učebního textu. Úlohy k přednášce. 1. Odvoďte vzorce pro derivaci funkce arcsin x (inverzní sinus) a arctan x (inverzní tangens). 2. Funkce f(x) je definovaná na okolí bodu 1, na němž splňuje rovnici f3 + f = 2x, dále f(1)=1 a f má v 1 vlastní derivaci. Čemu se rovná?

11. přednáška  5. 1. 2009. Věta o první derivaci a monotonii, s důkazem.  Důsledek: funkce spojitá na intervalu a s nulovou derivací ve vnitřních bodech je konstantní. Derivace vyšších řádů. Konvexita a konkavita grafu funkce.  Výsledky o konvexitě a konkavitě, bez důkazů: konv. (konk.) funkce má jednostranné derivace a je spojitá, druhá derivace a konvexita, definice inflexního bodu, nenulová druhá derivace --> není inflexe, postačující podmínka inflexe. Definice Taylorova polynomu. Věta charakterizující T. polynom, s důkazem. Viz strany 92 - 101 učebního textu.

12. přednáška  12. 1. 2009.  Zbytek Taylorova polynomu, Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku (bez důkazu). Taylorova řada funkce se středem v a. Příklady Taylorových řad (se středem v 0): exp(x), log(1+x), sin(x), cos(x), (1+x)a, arctan(x). Příklad nenulové funkce, jež má všechny derivace v počátku nulové a má tedy  nulovou Taylorovu řadu. Asymptotický symbol "malé o". Aplikace Taylorových polynomů pro výpočet limit. Viz strany 101 - 110 učebního textu.

leden 2009