1. přednáška 14. 10. 2015. 1. Komplexní n-té odmocniny z jedné. Kruhové polynomy
a jejich vlastnosti. Pro každé přirozené číslo m existuje nekonečně
mnoho prvočísel tvaru p = 1 + mn, důkaz pomocí kruhových polynomů.
Jednoduchý důkaz téhož, když je samo m prvočíslo. Zmínka o
Linnikově konstantě.
2. přednáška 21. 10. 2015. Wedderburnova - Dicksonova věta:
konečná nekomutativní tělesa neexistují. Kdyby existovala, platila by
identita q^n - 1= q - 1 + (q^n - 1)/(q^{n_1} - 1) + ... + (q^n -
1)/(q^{n_t} - 1), kde čísla 0 < n_i < n, t > 0, q > 1 a
všechny zlomky v ní jsou přirozená, a ta se ukáže jako nemožná pomocí
kruhových polynomů.
Fermatova poslední věta. Nejprve
ji dokážeme pro polynomy: a^n + b^n = c^n pro přirozené číslo n a tři
komplexní polynomy a, b, c, které nejsou všechny konstantní, implikuje
n < 3. Plyne to lehce ze
Stothersovy - Masonovy věty:
a + b = c pro tři komplexní polynomy a, b, c, které nejsou všechny
konstantní a jsou nesoudělné, implikuje max(deg a, deg b, deg c) <
rad(abc). Důkaz příště. Formulace
ABC domněnky a zmínka o
S. Mochizukim a jeho zatím neověřeném důkazu ABC domněnky.
3. přednáška 28. 10. 2015. Přednáška odpadá z důvodu státního svátku.
4. přednáška 4. 11. 2015. Důkaz
Stothersovy - Masonovy věty.
Věta Sofie Germainové
(ve Wikipedii je trochu jiná): je-li p > 2 prvočíslo, pro něž i 2p +
1 je prvočíslo, pak platí 1. případ FPV (tj. neexistují celá čísla x,
y, z, nedělitelná p, že x^p + y^p + z^p = 0), důkaz.
5. přednáška 11. 11. 2015. Přednáška odpadá z důvodu promoce jejího posluchače.
6. přednáška 18. 11. 2015. Důkaz FPV pro exponent n=3. Dokončení příště, zbývá dokázat jednoznačnost faktorizace v Z[(-3)^{1/2}].
7. přednáška 25. 11. 2015. Dokončení
důkazu FPV pro exponent n=3, totiž důkaz jednoznačnost faktorizace v
Z[(-3)^{1/2}], z čehož plyne Eulerovo lemma: jsou-li a, b, c celá
čísla, (a, b) = 1, že a^2 + 3b^2 = c^3, pak pro nějaká celá čísla r, s
je a = r(r - 3s)(r + 3s) a b = 3s(r - s)(r + s).
Skolemova-Mahlerova-Lechova věta. Tato
věta praví, že pro každou LRP (lineárně rekurentní posloupnost) f(n):
N_0 --> K v tělese K s charakteristikou 0 existuje celé číslo m >
0, že každá z m podposloupností f(i + mn), i = 0, 1 , ..., m - 1, je
buď identicky nulová nebo obsahuje jen konečně mnoho nul. Definice
kolem LRP. Lechův příklad, že pro K s char(K) = p to neplatí, jeho
dokončení příště.
8. přednáška 2. 12. 2015. Lechův příklad: f(n) = (x+1)^n - x^n - 1 je LRP řádu 3 v tělese K = F_p(x) a má nulové body n = 1, p, p^2, p^3, ..., důkaz.
Tvrzení:
je-li f(n) nenulová LRP řádu k > 0 v lib. tělese a m > 0 je celé
číslo, pak 1) její každý m-řez je LRP řádu nejvýše k (dokonce se
stejnou rekurencí) a 2) je-li některý její m-řez nulový, pak jsou
všechny m-řezy LRP řádu nejvýše k - 1 (opět se stejnou rekurencí),
důkaz.
Důsledek: např. ten, že SML věta platí v lib. tělese pro rekurence řádu nejvýše 2. Začněme s vlastním důkazem SML věty.
Maticový tvar LRP:
je-li f(n) LRP řádu k, pak pro každé nezáporné n máme f(n + k - 1) =
u*M^n*v, kde u je řádek (1, 0, 0, ..., 0) délky k, M je doprovodná k
krát k matice (koef. rekurence v 1. řádku, pod hlavní diagonálou 1 a
jinde 0) a v je sloupec počátečních podmínek délky k, důkaz. Poznámka o
vyjádření LRP mocninnou sumou.
9. přednáška 9. 12. 2015. Začneme s důkazem SML věty.
Komplexní čísla jako normované těleso. p-adická absolutní hodnota
|.|_p, je nearchimedovská. p-adická čísla Q_p - je to metrický uzávěr Q
vzhledem k |.|_p. p-adická celá čísla Z_p a p-adické jednotky.
Z_p je kompaktní, důkaz. Lechova-Casselsova věta o vnoření (konečného
rozšíření Q do Q_p), bez důkazu. Lemma o dvojité řadě: když lim_{max(i,
j) --> oo} a_{i, j} = 0, pak dvojitá řada konverguje (v Q_p) a sum_j
sum_i a_{i, j} = sum_i sum_ j a_{i, j}, bez důkazu. Slabá Strassmannova
věta: když a_n ve Q_p jdou k 0, ale nejsou všechny nulové, pak moc.
řada sum_{n = 0}^{oo} a_nx^n konverguje pro každé x ze Z_p a jako
funkce má v Z_p jen konečně mnoho nulových bodů, důkaz. Dokončení
důkazu SML věty příště.
10. přednáška 16. 12. 2015. Takže
f(n + k - 1) = u*M^n*v, kde u, v a M jsou popsány výše. Podle věty o
vnoření můžeme búno předpokládat, že položky v u, v a M jsou z
Q_p, p > 2, a nenulové z nich mají p-adickou normu 1. Jako m se
vezme řád grupy G regulárních k krát k matic s položkami v Z_p/pZ_p,
mezi nimiž je (redukce) M. Tedy M^m = I + pN, I je jednotková. Tedy f(i
+ mn) = u*M^i*(I + pN)^n*v = sum_{j = 0}^n binom(n, j)d_j, kde d_j jsou
z p^jZ_p. Nyní se (pomocí lematu o dvojité řadě) ukáže, že F(x) =
sum_{j = 0}^{oo} binom(x, j)d_j = sum_{l = 0}^{oo} b_lx^l. Podle slabé
Strassmannovy věty tedy f(i + mn) = F(n) = 0 buď vždy nebo jen pro
konečně mnoho n.
Racionální důkaz SML věty pro K = Q. Pomocí Skolemových systémů, dokončení v novém roce.
11. přednáška 6. 1. 2016. Dokončení
důkazu racionální SML věty pomocí Skolemových systémů, zejména důkaz,
že nenulový S. systém stupně d má nejvýše d řešení. Návrat k
Fermatově poslední větě pro polynomy, jednodušší důkaz pomocí faktorizace x^n + y^n = prod_{j = 0}^{n - 1}(x + zeta^j.y).
Chevalleyho-Warningova věta. Formulace, důkaz příště. Aplikace: každý multigraf vzniklý ze 4-reg. multigrafu přidáním hrany má neprázdný 3-reg. podgraf.
12. přednáška 13. 1. 2016. Důkaz Chevalleho-Warningovy věty. Ještě další její použití:
Erdosova-Ginzburgova-Zivova věta (mezi každými 2n - 1 celými čísly má některých n z nich součet dělitelný n), důkaz pouze pro n = p.
Věta N. Alona
o nulách (je-li x_1^{k_1}...x_n^{k_n} maximální monom polynomu f(x_1,
..., x_n) s koeficienty v oboru integrity R a A_i je n podmnožin R s
hodně prvky, |A_i| > k_i, pak se v každé najde takový prvek a_i ,
že f(a_1, a_2, ..., a_n) není nula), důkaz, a její aplikace v
geometrii: nejmenší možný počet nadrovin v R^n, které dohromady
obsahují všechny vrcholy kostky {0, 1}^n až na jeden, je n.
leden 2016