Vyuka - Martin Klazar

1. přednáška 12. 10. 2011. Přehled témat přednášky. Jednoznačnost ireducibilních (prvočíselných) rozkladů v okruhu Z a její použití pro řešení diofantických rovnic x^2=2y^2 (nemá netriviální řešení), x^2 + y^2 = z^2 (řešení jsou pythagorejské trojice) a x^4 + y^4 = z^2 (nemá netriviální řešení).

2. přednáška 19. 10. 2011. Identity pro funkci r_s(n) = počet vyjádření n součtem s čtverců, tj. počet řešení (x_1, ..., x_s) v Z^s rovnice x_1^2 + ... + x_s^2 = n. Pomocí ireducibilních rozkladů v Gaussových číslech Z[i] dokážeme tuto identitu: r_2(n) = 4sum_{d dělí n}chi(d), kde chi(d) = (-1)^{(d - 1) / 2} pro liché d a chi(d) = 0 pro sudé d, tj. r_2(n) = 4(d_1(n) - d_3(n)), kde d_i(n) je počet těch dělitelů čísla n, co jsou i modulo 4. (Jiná podobná identita, nalezená Jacobim: r_4(n) = 8sum_{d dělí n a není násobek čtyř}d.) Z[i], norma N(.) v Z[i], jednotky v Z[i] jsou právě 1, -1, i, -i. Dokázali jsme si, že Z[i] je eukleidovský (má dělení se zbytkem) a odtud odvodili, že Z[i] je OHI (obor hlavních ideálů), tedy v něm každý ireducibilní prvek je prvodělitelem (dělí-li součin prvků, dělí nutně některý z činitelů) a tedy ireducibilní rozklady v Z[i], jež existují díky vlastnostem normy, jsou jednoznačné (liší se pouze přepermutováním činitelů a jejich náhradou asociovanými prvky). Takže Z[i] je OJR (obor s jednoznačnými ireducibilními rozklady), stejně jako Z. Příště nalezneme ireducibilní prvky Z[i] a dokážeme tu identitu pro r_2(n).

3. přednáška 26. 10. 2011. konjugace na Z[i], ired. prvky 1. a 2. typu (1. typu jsou asociované se svým konjugátem, ty 2. typu ne). Vzorec pro r_2(n) v Z[i]: je to 4 krát součin (k + 1), kde k probíhá exponenty ve dvojicích ired. prvků druhého typu v rozkladu n na ired. prvky v Z[i], za předpokladu, že všechny exponenty ired. prvků prvého typu v rozkladu jsou sudé, a je to 0 jinak (alespoň jeden z oněch exponentů je lichý). Nalezení ired. prvků v Z[i] a určení jejich typu: 1. typu jsou 1 + i (a asociované) a každé prvočíslo q = 4m + 3 (a asociované), 2. typu jsou páry konjugovaných ired. prvků a + bi, a - bi, a > b > 0 celé a a^2 + b^2 = p = 4m + 1 (a asociované) odpovídající prvočíslům tvaru 4m + 1. Odtud už hned plyne, že r_2(n) = 4 krát součin (k + 1), kde k probíhá exponenty prvočísel tvaru 4m + 1 v prvočíselném rozkladu n, mají-li prvočísla tvaru 4m + 3 sudé exponenty, a 0 jinak. Což, jak se snadno ukáže pomocí úplné multiplikativity chi(d), je přesně 4 krát sum_{d dělí n}chi(d). Příště: průměrná hodnota r_2(1) + r_2(2) + r_2(3) + ... + r_2([x]) = pi.x + O(sqrt{x}).

4. přednáška 2. 11. 2011. Odvození asymptotiky r_2(1) + r_2(2) + r_2(3) + ... + r_2([x]) = pi.x + O(sqrt{x}) dvěma způsoby, geoemetricky a pomocí dokázaného explicitního vzorce, jako důsledek dostáváme, že 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ... = pi/4. Wedderburnova věta (1905): konečná nekomutativní tělesa neexistují. Z předpokladu jejich existence jsme zatím odvodili identitu q^n - 1 = q - 1 + (q^n - 1) / (q^{n_1} - 1) + (q^n - 1) / (q^{n_2} - 1) + ... + (q^n - 1) / (q^{n_k} - 1), kde q, n >1 a 0 < n_i < n jsou nějaká celá čísla. Tu přivedeme ke sporu příště.

5. přednáška 9. 11. 2011. Nejprve pomocné tvrzení o kruhových polynomech: součin lin. faktorů (x - alfa), kde alfa probíhá primitivní d-té odmocniny z 1, je celočíselný polynom F_d(x); součin polynomů F_d(x), kde d probíhá dělitele čísla n, je x^n - 1. S pomocí tohoto tvrzení důkaz spornosti zmíněné identity. Komplexní čísla jako reálné 2 krát 2 matice a kvaterniony jako komplexní 2 krát 2 matice.

6. přednáška 16. 11. 2011. Důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích pomocí kvaternionů analogicky důkazu Eulerovy-Fermatovy věty o 2 čtvercích pomocí Gaussových čísel Z[i]. Hurwitzova čísla H=Z[(1 + i + j + k) / 2, i, j, k], tvoří nekomutativní okruh. V H máme dělení se zbytkem, tudíž i největšího (jednostranného) společného dělitele a pro něj Bezoutovu identitu (nsd je lin. kombinací prvků, jichž je nsd). Tedy reálné ireducibilní prvky v H jsou prvodělitelé. Tedy každé racionální prvočíslo p je reducibilní v H (protože p dělí 1 + a^2 + b^2 = (1 + ai + bj)(1 - ai - bj) pro nějaká celá čísla a, b > 0, ale nedělí ani jeden z činitelů). Tudíž, pomocí konjugace, faktorizace p dává, že každé p je součet čtyř čtverců. Podle Eulerovy identity se to rozšíří na všechna přirozená čísla.

7. přednáška 23. 11. 2011. p-adická čísla. Motivační příklady (SML věta, Thueho rovnice). Elementární důkaz faktu, že 2-adický řád čísel 2 / 1 + 2^2 / 2 + ... + 2^r / r jde do nekonečna. Definice p-adické normy na Q. Ostrowski: každá netriviální norma na Q je ekvivalentní buď absolutní hodnotě nebo nějaké p-adické normě. Důkaz druhé (jednodušší) části, první část příště.

8. přednáška 30. 11. 2011. První (archimedovská) část Ostrowskiho věty. Konstrukce tělesa Q_p p-adických čísel jako zúplnění tělesa zlomků Q vzhledem k p-adické absolutní hodnotě |.|_p. Q_p jsou bloky ekvivalence cauchyovských posloupností zlomků (a_n) vzhledem k relaci ekvivalence (a_n) ~ (b_n) iff | a_n - b_n|_p --> 0.

9. přednáška 7. 12. 2011. Příklad cauchyovské posloupnosti, která v Q nemá vzhledem k |.|_p limitu: (p>2) nechť a je celé číslo, které není čtverec, ale je kv. zbytek mod p, pak se sestrojí posl. přir. čísel a_n, že | a_n^2 - a |_p --> 0 (pak totiž x^2 je kongruentní a mod p^n má vždy řešení), kterážto obsahuje cauchyovskou podposloupnost, která ale nemá v Q limitu, neboť by jí musela být odmocnina z a, jež však v Q není. Důkaz úplnosti tělesa Q_p (každá cauchyovská posloupnost má v Q_p limitu). Tvrzení: každé p-adické číslo alfa s |alfa|_p <= 1 má právě jednoho reprezentanta (a_n) (posl. nezáporných celých čísel) s vlastnostmi: (i) 0 <= a_n < p^n, (ii) a_n je kongruentní a_{n+1} (mod p^n). Takže p-adická čísla lze reprezentovat rozvoji a_m.p^m + a_{m+1}.p^{m+1} + ..., kde a_i jsou cifry z {0 , 1, ..., p - 1} a m je celé číslo.

11. přednáška 21. 12. 2011. Důkaz dodatku. Lemma o změně pořadí sčítání ve dvojitých (nekonečných) sumách s p-adickými sčítanci. Strassmanova věta: Když f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + ... má koeficienty a_n z Q_p, které nejsou všechny nulové a jdou k 0, potom f(c) = 0 pro nejvýše N celých p-adických čísel c, kde N je poslední index, kde se nabývá maximální hodnota |a_n|_p. Pomocí této věty počítáním v Q_11 dokážeme, že diofantická rovnice x^2 + 7 = 2^m má pouze tato (nezáporná) celočíselná řešení: (x,m) = (1,3), (3,4), (5,5), (11,7) a (181,15).

12. přednáška 4. 1. 2012. Tvrzení: (lineární rekurentní) posloupnost celých čísel (u_n) = (0, 1, 1, -1, -3, -1, 5, 7, -3, -17, -11, 23, 45, -1, -91, -89, ...) daná rekurencí u_0 = 0, u_1 = 1 a u_n = u_{n-1} - 2u_{n-2} nabývá hodnotu u_n = 1 nebo -1, právě když n = 1, 2, 3, 5 a 13. Důkaz: pro každou z 20 posloupností (v_n) = (u_{j + 10n} + 1, - 1), j = 0, 1, ..., 9, existuje taková mocninná řada F(x) = c_0 + c_1 + c_2x^2 + ... s koeficienty c_i v Q_{11} a jdoucími k 0 (a ne všemi nulovými), že F(n) = v_n pro každé n = 0, 1, 2 ... . Strassmanova věta říká, že F(x) = 0 má nejvýse k řešení v Z_{11} (celá 11-adická čísla), kde k se rovná indexu posledního maxima | c_i |_{11}. To umožňuje nalézt všechna řešení rovnice u_n = 1 nebo -1. K rovnici x^2 + 7 = 2^m, již lze na předchozí problém zredukovat, už jsme se ale bohužel jaksi nedostali.

13. přednáška 11. 1. 2012. Věta (Skolem - Mahler - Lech): Pro každou lineární rekurentní posloupnost (a_n) v tělese K charakteristiky 0 existuje celé číslo m > 0 tak, že každý m-řez (b_n) = (a_{j+mn}), j = 0, 1, ..., m-1, dané posloupnosti je buď identicky nulový nebo obsahuje jen konečně mnoho nulových členů. Důkaz: udělali jsme si pouze pro K = Q, opět pomocí reprezentace b_n = F(n), kde F(x) = c_0 + c_1 + c_2x^2 + ... má koeficienty v Q_p pro vhodné prvočíslo p a jdoucí k 0. Důkaz dává algoritmus rozhodující (ne)konečnost množiny {n | a_n = 0}. Zda lze algoritmicky rozhodnout její (ne)prázdnost je otevřený problém (tzv. Skolemův problém).

leden 2012

Informace o přednášce Algebraická teorie čísel (NDMI066)