Analytická a kombinatorická teorie čísel NDMI045, LS 2013/14

Místo a čas přednášky: úterý 8:30-10:00, chodba KAM (S221).
Výuka tohoto předmětu v minulých letech: zde .
Plán letošní přednášky.
Chci probrat, podle časových možností, následující významné a pěkné výsledky z teorie čísel. 1. Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti. 2. Kombinatorická a asymptotická teorie číselných rozkladů.  Dále uvidíme.
Otázky ke zkoušce/Exam questions. 

Literatura. Bude uvedena a dodána na přednášce. Zde se nachází zápis z přednášky (v angličtině), bude průběžně dopisován. 

1. přednáška 28. 2. 2017. Erdosův elementární důkaz speciálního případu Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti. Je-li m přir. číslo splňující, že 1/p_1 + ... + 1/p_h < 1, kde p_i jsou všechna prvočísla menší než m a nedělící m, a a je celé číslo nesoudělné s m, pak pro nekonečně mnoho n je a + mn prvočíslo. Důkaz dokončíme příště důkazem Tvrzení 1 (Proposition 3 v zápisu). Erdosův důkaz je posán v tomto mém textíku.

2. přednáška 7. 3. 2017. Vysvělování důkazu z minulé přednášky. Důkaz Tvrzení 1. Začátek algebraického důkazu jiného speciálního případu Dirichletovy věty: pro každé celé číslo m > 0 je 1 + nm prvočíslo pro nekonečně mnoho n. Pomocí kruhových (cyklotomických) polynomů. 

3. přednáška 14. 3. 2017. Dokončení důkazu speciálního případu DV. Na důkaz celočíselnosti kruhových polynomů jsem zapomněl, ale je lehký a je v  zápisu z přednášky. Začali jsme důkaz plné verze DV a dostali jsme se až k axiomatickému popisu Dirichletových charakterů modulo m. 

4. přednáška 21. 3. 2017. Pokračovali jsme v důkazu úplné DV a dostali jsme se až k vlastnostem Moebiovy funkce, viz hořejší zápis z přednášky. 

5. přednáška 28. 3. 2017. Pokračovali jsme v důkazu úplné DV a dostali jsme se až pred důkaz ortogonálních relací pro charaktery konečné Abelovy grupy, viz hořejší zápis z přednášky.

6. přednáška 4. 4. 2017.


březen 2017