Analytická a kombinatorická teorie čísel NDMI045, LS 2013/14

Místo a čas přednášky: úterý 8:30-10:00, chodba KAM (S221).
Výuka tohoto předmětu v minulých letech: zde .
Plán letošní přednášky.
Chci probrat, podle časových možností, následující významné a pěkné výsledky z teorie čísel. 1. Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti. 2. Kombinatorická a asymptotická teorie číselných rozkladů.  Dále uvidíme.

Otázky ke zkoušce: 1. Algebraický důkaz, že pro každé celé číslo m > 0 je 1 + nm prvočíslo pro nekonečně mnoho n. 2. Načrtněte schematicky (bez podrobností) důkaz úplné Dirichletovy věty. 3. Dokažte, že pro konečnou množinu částí A je p_A(n) kvazipolynom. 4. Načrtněte schematicky (bez podrobností) důkaz Hardyho-Ramanujanovy-Uspenského asymptotiky pro p(n). 5. Dokažte Stirlingovu asymptotiku pro faktoriál. 

Literatura. Bude uvedena a dodána na přednášce. Zde se nachází zápis z přednášky (v angličtině), bude průběžně dopisován. 

1. přednáška 28. 2. 2017. Erdosův elementární důkaz speciálního případu Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti. Je-li m přir. číslo splňující, že 1/p_1 + ... + 1/p_h < 1, kde p_i jsou všechna prvočísla menší než m a nedělící m, a a je celé číslo nesoudělné s m, pak pro nekonečně mnoho n je a + mn prvočíslo. Důkaz dokončíme příště důkazem Tvrzení 1 (Proposition 3 v zápisu). Erdosův důkaz je posán v tomto mém textíku.

2. přednáška 7. 3. 2017. Vysvělování důkazu z minulé přednášky. Důkaz Tvrzení 1. Začátek algebraického důkazu jiného speciálního případu Dirichletovy věty: pro každé celé číslo m > 0 je 1 + nm prvočíslo pro nekonečně mnoho n. Pomocí kruhových (cyklotomických) polynomů. 

3. přednáška 14. 3. 2017. Dokončení důkazu speciálního případu DV. Na důkaz celočíselnosti kruhových polynomů jsem zapomněl, ale je lehký a je v  zápisu z přednášky. Začali jsme důkaz plné verze DV a dostali jsme se až k axiomatickému popisu Dirichletových charakterů modulo m. 

4. přednáška 21. 3. 2017. Pokračovali jsme v důkazu úplné DV a dostali jsme se až k vlastnostem Moebiovy funkce, viz hořejší zápis z přednášky. 

5. přednáška 28. 3. 2017. Pokračovali jsme v důkazu úplné DV a dostali jsme se až pred důkaz ortogonálních relací pro charaktery konečné Abelovy grupy, viz hořejší zápis z přednášky.

6. přednáška 4. 4. 2017. Dokončili jsme důkaz úplné DV. Kombinatorická a asymptotická teorie číselných rozkladů. Dokážeme si Hardyho-Ramanujanovu asymptotiku rozkladové funkce p(n), ale nejprve jednodušší Schurovu asymptotiku rozkladové funkce p_A(n) pro konečnou množinu částí A. Viz hořejší zápis z přednášky.

7. přednáška 11. 4. 2017. Důkaz Schurovy asymptotiky pro p_A(n). Kvazipolynomialita p_A(n). Efektivní počítání funkcí p_A(n) a p(n). Dolní odhad na p(n), horní odhad příště. Viz  zápis z přednášky.

8. přednáška 18. 4. 2017. Dva horní odhady p(n) < exp(cn^{1/2}), jeden pomocí GF a druhý pomocí rekurence. Začátek důkazu H-R-U asymptotiky rozkladové funkce p(n). Viz  zápis z přednášky.

9. přednáška 25. 4. 2017. Pokračování v důkazu H-R-U asymptotiky rozkladové funkce p(n). Viz  zápis z přednášky.

10. přednáška 2. 5. 2017. Stále dokazujeme H-R-U asymptotiku rozkladové funkce p(n). Už zbývá jenom dokázat tvrzení o aproximaci F(z)=(1 + O(1-z))Phi(z). Viz  zápis z přednášky.

11. přednáška 9. 5. 2017. Důkaz H-R-U asymptotiky rozkladové funkce p(n) dokončen! Dokázali jsme tři lemmata potřebná pro asymptotiku F(z)=Phi(z)*(1 + O(1-z)), z jde k 1 hodnotami splňujícími |z| < 1 a |1 - z| < 2(1 - |z|), a tu jsme dokázali rovněž. Viz  zápis z přednášky, doufejme přehlednější než samotná přednáška.

12. přednáška 16. 5. 2017. Různé poznámky o analýze užité v odvození H-R-U asymptotiky a historické poznámky. Tři (analytické) důkazy Stirlingovy formule. Stihli jsme tak 1 a 2/3 důkazu. Viz  zápis z přednášky.

13. přednáška 23. 5. 2017 (poslední). Druhý a třetí důkaz a náznak čtvrtého, poznámky o McKayových asymptotikách počtů regulárních turnajů a eulerovských grafů. Viz  zápis z přednášky.



květen 2017