Home     Teaching     Research     Misc

Milan Hladík Lineární algebra 2 (NMAI058), letní semestr 2022/2023

Přednáška (ČT 9:00)

  Základní literatura - skripta: M. Hladík, Lineární algebra (nejen) pro informatiky, MatfyzPress, 2019.

  Doplňkové slajdy k přednášce.

  Konzultační hodiny: po dohodě.

Zkoušky:

Na zkoušku se přihlašuje přes studijní informační systém (SIS). Bude vypsáno pět řádných termínů (25.5., 8.6., 13.6., 26.6., 29.6.) a jeden předtermín (17.5.) a jeden termín někdy v září. Na zkoušku lze přijít pouze s uděleným zápočtem, pokud nemáte vyjednanou výjimku (na zapsání na termín zkoušky ale zápočet není třeba). Při zkoušce jsou zapovězeny mobily, kalkulačky, zápisky, učebnice, etc. Zkouška začíná ráno od 9:00 písemnou částí na 90 minut, skládající se z početních, teoretických a kvízových příkladů. Na základě výsledků písemné části vám bude navržena známka, kterou si můžete nepovinně vylepšit o jeden stupeň při ústním zkoušení odpoledne. Ústní zkoušení začíná náhodným výběrem jednoho z témat uvedených zde: zkoušková témata v pdf. Na přípravu bývá dost času. Správné zpracování vylosovaného tématu zahrnuje: definování příslušných pojmů, formulace souvisejících tvrzení, alespoň jeden netriviální důkaz a také souvislost s ostatními pojmy a výsledky. Řada témat je totiž průřezová! Na předtermínu se zkouší pouze teorie, a to ústně.

Příklad souvislostí v lineární algebře je pěkně dokumentován mapou lineární algebry od Pavla Klavíka. Viz také osobní stránky Pavla Klavíka.

Vzorová dopolední písemka je zde. Velmi doporučuji vytisknout a zkusit vypracovat nanečisto!

Probraná a plánovaná témata:

16.2.	Prostory se skalárním součinem: definice, příklady. Norma indukovaná skalárním součinem a norma obecně. Pythagorova věta, Cauchy-Schwarzova nerovnost, trojúhelníková nerovnost. [skripta: sekce 8.1]
23.2.	Ortogonální a ortonormální systémy, Fourierovy koeficienty. Gram-Schmidtova ortogonalizace a důsledky. Vyjádření libovolného skalárního součinu pomocí standardního. Ortogonální doplněk a jeho vlastnosti pro množinu a pro podprostor. [skripta: sekce 8.2-8.3]
2.3.	Ortogonální projekce (bez Gramovy matice). Ortogonální doplněk a projekce pro standardní skalární součin, vlastnosti matice projekce. [skripta: sekce 8.3-8.4]
9.3.	Metoda nejmenších čtverců. Ortogonální matice (Householderova, Givensova), jejich charakterizace a vlastnosti. Determinanty: definice, determinant transponované matice, řádková linearita. [skripta: sekce 8.5-8.6, 9.0]
16.3.	Determinanty: vliv elementárních řádkových úprav, multiplikativnost determinantu, Laplaceův rozvoj determinantu, Cramerovo pravidlo. Adjungovaná matice. [skripta: sekce 9.1-9.3]
23.3.	Determinant: geometrická interpretace determinantu a další aplikace. Vlastní čísla: definice a základní charakterizace. Charakteristický polynom. Vlastní čísla a jejich vlastnosti: součet a součin vlastních čísel, regularita a vlastní čísla. [skripta: sekce 9.4, 10.0-10.1]
30.3.	Matice společnice. Cayley-Hamiltonova věta a důsledky. Podobnost matic. Diagonalizovatelnost obecných matic a její charakterizace, postačující podmínka, vlastní vektory různých vlastních čísel. Spektrální rozklad. [skripta: sekce 10.1-10.3]
6.4.	Mocnina matice. Jordanova normální forma matice (bez důkazu) a důsledky. Symetrické matice: vlastní čísla a diagonalizovatelnost (spektrální rozklad a jeho alternativní tvar). [skripta: sekce 10.4-10.5]
13.4.	Teorie nezáporných matic: Perronova věta, Markovovy řetězce. Gerschgorinovy disky. Mocninná metoda na výpočet vlastních čísel a její konvergence, deflace vlastního čísla pro symetrické matice. [skripta: sekce 10.6-10.7]
20.4.	Positivně definitní a positivně semidefinitní matice: definice, vlastnosti a ekvivalentní podmínky. Metody na testování positivní definitnosti: Rekurentní vzoreček, Gaussova eliminace, Sylvestrovo kriterium. [skripta: kapitola 11.0-11.1.]
27.4.	Metody na testování positivní definitnosti: Choleského rozklad (věta a algoritmus). Aplikace positivní (semi)-definitnosti: skalární součin v Rn, odmocnina z matice. [skripta: kapitola 11.1-11.2.]
4.5.	Bilineární a kvadratické formy: maticové vyjádření, vliv změny báze na matici. [skripta: kapitola 12.1.]
11.5.	Kvadratické formy: Sylvestrův zákon setrvačnosti, výpočet diagonalizace a nalezení polární báze, aplikace v geometrii - elipsoidy. Maticové rozklady: motivace [skripta: kapitola 12.2.]
18.5.	SVD rozklad, vztah singulárních a vlastních čísel. Aplikace SVD rozkladu: ortogonalizace, projekce, geometrie lineárního zobrazení a číslo podmíněnosti, numerický rank, low-rank aproximace, komprese obrazu, pseudoinverze, norma matic. [skripta: kapitola 13.4-13.6.]

Literatura:

• Přibližný podrobný sylabus přednášky najdete na stránkách J. Matouška.

• L. Barto a J. Tůma: elektronická skripta
• J. Rohn: Lineární algebra a optimalizace, 2004 (ke stažení zde a ve formě slajdů zde)
• L. Bican: Lineární algebra a geometrie, 2000
• J. Bečvář: Lineární algebra, 2005

• Povídání o lineární algebře, postupně vznikající doplňující text od P. Klavíka

Sbírky úloh k procvičení:

• vzorové cvičení od M. Hladíka,
• (nejen) pro případnou distanční výuku postupně se rozšiřující materiál:
  • příklady na procvičení pouze zadání, a zde i s řešením (nejprve příklady zkuste vyřešit sami!)
  • úlohy vhodné jako domácí, bez řešení
• elektronická sbírka od J. Fialy
• L Bican: Lineární algebra v úlohách, 1979
• J. Bečvář: Sbírka úloh z lineární algebry, 1975
• K. Výborný, M. Zahradník: Používáme lineární algebru, 2002 (pro náročnější)

Další inspirace v češtině:

• M. Čadek (skripta + sbírka úloh), P. Olšák (přednáška), Dostál, Vondrák & Lukáš (slajdy+testy), P. Zlatoš: Lineárna algebra a geometria (slovensky), učební text a příklady od J. Slováka, Matematika on-line Ústavu informatiky FSI VUT v Brně

Další inspirace v angličtině:

• J. Hefferon: Linear algebra, (rozsáhlá sbírka úloh a kniha)
• C.D. Meyer: Matrix analysis and applied linear algebra, SIAM, 2000
• legendární videozáznam přednášek G. Stranga na MIT, 1999
• Essence of linear algebra, animované vysvětlení lineární algebry, případně další příspěvky kanálu 3Blue1Brown

Software:

• komerční: Matlab, Maple, Mathematica
• nekomerční: Octave, Scilab

Cvičení (Pá 12:20 N6, skupina X.34)

Podmínky pro zápočet:

• získat aspoň 50% bodů (konkrétně aspoň 60 bodů ze 120) za domácí úkoly (zde v PDF), termín odevzdání je vždy následující cvičení
• získat aspoň 50% bodů (konkrétně aspoň 60 bodů ze 120) za písemky, přičemž na začátku každého cvičení se píše malá písemka

Body za písemky:

Skupina X.34	1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12	∑
bleach	01 -- 03 05 10 10 10 10 07 10 -- 10	76
Recidivista	10 09 08 05 04 01 02 06 04 05 10 --	64
brambor	02 10 08 06 05 09 05 10 -- -- 07 --	62
Viki	02 10 -- 03 -- 10 -- 05 03 10 10 10	63
kočička	03 10 -- -- 10 -- 00 10 08 10 10 09	70
mapletree	03 10 -- 10 10 -- 10 10 10 10 10 10	93
kolouš	03 09 -- 00 10 10 10 10 -- 10 10 10	82
PerQ	02 07 02 02 04 10 10 -- 02 10 10 05	64
jarkus	03 10 03 05 10 10 06 10 08 -- -- --	65
Špekulant	02 10 10 05 04 10 10 09 -- -- 08 --	68
pupa	02 09 08 02 10 10 -- -- 02 10 10 --	63
MistrWoland	-- -- -- -- -- -- -- 10 05 10 -- 10	35
anonym5	02 00 -- 00 04 01 -- -- -- 05 -- --	12
tim	03 10 06 10 10 10 10 05 -- -- 10 --	74
QQ	01 -- 06 03 10 10 05 10 09 10 10 --	74
JustPatrik	02 10 10 02 09 10 10 10 04 08 -- 05	80
profesor	10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10	120

Body za domácí úkoly:

Skupina X.34	1  2  3  4  5  6  7  8  9 10 11 12	∑
bleach	10 -- 10 10 10 10 10 -- -- -- -- --	60
Recidivista	10 10 -- 10 10 10 -- 09 -- 09 -- --	68
brambor	05 10 03 10 05 07 10 10 -- -- -- --	60
Viki	10 10 10 10 -- 10 -- -- -- 09 06 --	65
kočička	05 08 -- 10 03 -- 06 10 10 -- 06 09	67
mapletree	10 10 10 10 10 10 10 -- -- -- -- --	70
kolouš	10 09 -- 10 10 10 09 10 -- -- -- --	68
PerQ	02 10 01 10 09 10 02 -- 10 10 -- --	64
jarkus	10 10 10 10 10 10 -- -- -- -- -- --	60
Špekulant	10 10 -- 10 10 10 -- 08 -- 09 -- --	67
pupa	10 09 -- 10 09 10 -- -- 10 10 07 --	75
anonym5	-- 02 05 10 10 05 -- -- 10 01 -- --	43
tim	05 10 04 10 10 10 10 10 10 -- 07 10	96
QQ	05 08 10 10 09 10 -- 09 -- -- -- --	61
JustPatrik	05 05 09 10 05 09 -- 09 10 -- -- --	62
profesor	10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10	120