Lineární algebra I (NMAI057) 2012/13

Cvičení k přednášce J. Sgalla se konalo v úterky od 12:20 v učebně S11.

Kdo ještě nemá zápočet v indexu, ale má/získá na něj nárok, tomu ho zapíšu do sisu. Pro zapsání do indexu se se mnou domluvte mailem, kdy budu ve škole. O zapsání do indexu můžete také požádat přednášejícího na zkoušce.

Zápočet budu dávat za 40 bodů z malých písemek. Ty se psaly v prvních zhruba 15-20 minutách téměř každého cvičení (na prvním a posledním cvičení ne); navíc je možnost je neodevzdat hned, ale až na příštím cvičení, nebo i později, za polovinu bodů. To se týká i těch, kteří na cvičení nepřijdou - zadání písemek najdete níže. Bonusový příklad z 10. písemky lze řešit i pokud jste písemku odevzdali (za polovinu původního počtu bodů); můžete ho odevzdat i vícekrát - pokud později najdete větší řešení.

Body můžete doplnit na náhradních příkladech. Za každou písemku plus její náhradní domácí úlohy lze v součtu získat maximálně 6 bodů (kdo například napsal 3. písemku na plný počet 6 bodů, nemůže za náhradní úlohy ke 3. písemce získat žádné další body; kdo ji odevzdal později a také na plný počet 6/2=3 bodů, může za náhradní úlohy získat další 3 body). Body nad tuto hranici se nepočítají; jedinou výjimkou je bonusový příklad z desáté série, který se do limitu této série nepočítá. Také stále můžete odevzdávat písemky, které jste zatím neodevzdali (za polovinu bodů).

Zadání písemek: 9.10. 16.10. 23.10. 30.10. 6.11. 13.11. 20.11. 27.11. 4.12. 11.12. 18.12.
Kdo na cvičení nebyl, řeší variantu A; kdo byl, ale neodevzdal, řeší zadání, které dostal. Odevzdávat můžete i elektronicky - pokud možno v pdf (většina textových editorů export do pdf umí); oskenované je možno i v jpg; nebo, pokud to charakter úlohy dovoluje, i v čistém textu. Vřele doporučuji naučit se LaTeX (jak si ho nainstalovat a začít použivat), vzorečky pak pěkně vypadají a po troše cviku se v něm píše snadno a rychle (psaní ručně na papír je ale přecijen většinou rychlejší). Dá se v něm např. udělat i toto (zdroják).

Aktuální stav bodů

Seznam příkladů, které jsme počítali na cvičeních.

Co jsme probrali:

2.10. Různé reprezentace přímky (parametrický, obecný, směrnicový, úsekový). Řešení soustavy dvou rovnic o dvou neznámých s parametrem. Určení úsekového tvaru přímky procházející zadanými dvěma body. Určení kružnice procházející zadanými třemi body.

9.10. Odvození úprav matice (prohození dvou řádků a přičtení t-násobku jednoho řádku k jinému řadku) ze dvou základních úprav (vynásobení řádku nenulovým číslem a přičtení jednoho řádku k jinému). Programátorská odbočka - jak prohodit hodnoty dvou proměnných bez použití další proměnné. Převod matic na odstupňovaný tvar (definice odstupňovaného tvaru; na konci strany 8).

16.10. Řešení soustav rovnic pomocí Gaussovy eliminace. Ukázka, že řešení soustavy postupem: "vyjádřím x_1 z 1. rovnice a dosadím do dalších rovnic, vyjádřím x_2 ze 2. rovnice ..." dělá v zásadě to samé jako řešení soustavy pomocí převodu matice na odstupňovaný tvar. Několik soustav rovnic, kde levá strana zůstává stejná a mění se pouze pravá strana.

23.10. Geometrická reprezentace množin řešení soustav - afinni podprostory (např. v prostoru R^3 to jsou: prázdná množina, jednobodová množina, přímka, rovina, celá R^3). Průnik afinních podprostorů je afinní podprostor. Nástin důkazu, že pokud dvě soustavy mají stejnou levou stranu a navíc mají obě aspoň jedno řešení, pak jsou množiny jejich řešení rovnoběžné afinní podprostory stejné dimenze. Podrobněji a snad i srozumitelněji viz kapitola 2. Vlastnosti aritmetických operací s maticemi - sčítání, násobení skalárem, transpozice a násobení.

30.10 Součin matic. Z AB = AC ne vždy vyplývá B=C, ale platí to například kdykoli má A inverzi. Vliv vhodného uzávorkování na pracnost počítání součinu více matic. Inverze matice příslušne k jedné z elementárních operací.

6.11. Čtvercové matice AB a BA mají stenou stopu (součet prvků na diagonále), ale součet všech prvků těchto dvou matic není vždy stejný. Inverze konkrétních matic, inverze k (AA^T) a použití inverze k řešení více soustav se stejnými levými stranami.

13.11. Grupy a tělesa: definice, vlastnosti. Příklady konkrétních grup a těles. Řešení soustav rovnic nad tělesem Z_p (celá čísla modulo prvočíslo p).

20.11. Maticové rovnosti XA=B, kde X je neznámá, nad Z_5. Další tělesa (racionální čísla, komplexní čísla, Z_8). Připomenutí počítání s komplexními čísly. Soustava rovnic s komplexními čísly. Počítání nad Z_8, zejména zbytek po dělení dvou polynomů (dokončíme příště).

27.11. Dělení polynomů se zbytkem. Zmínka o aplikaci konečných těles: samoopravné kódy (lépe je to popsáno např. ve skriptech doc. Kaisera, kapitoly 1-3). Vektorové prostory: zopakování definice, příklady. Zápis vektoru jako lineární kombinace vektorů.

4.12. Izomorfismus vektorových prostorů. Komplexní čísla brána jako vektorový prostor nad R jsou izomorfní R^2 (násobení kompl. č. mezi sebou je ale odlišuje od R^2). Aplikace konečných těles a vektorových prostorů detailněji: jak funguje RAID 6; důkaz přes dokázaní lineární nezávislosti n-tic jistých vektorů.

11.12. Krátká zmínka, že pokud chceme data ukládat na n+k disků tak, aby odolala výpadku k disků, stačí zvolit dost velké p a n+k vhodných vektorů ze (Zp)n. Pokračování v určování lineární nezávislosti množin vektorů. Zmínka o tom, že množina obsahující pouze nulový vektor je lineárně závislá, a tedy nulový vektor je v této množině lineární kombinací ostatních (i přesto, že žadné "ostatní" tam nejsou). Doplňování vektorů na bázi.

18.12. Doplňování vektorů na bázi v prostoru polynomů. Důkaz, ze až na izomorfismus existuje pro dané těleso a danou konečnou dimenzi pouze jeden vektorový prostor. Převod mezi bázemi.