Cvičení ke společné přednášce M. Hladíka a J. Sgalla se konalo v pátky od 10:40 v učebně S10.
Zápočet jsem dával za 44 bodů z malých písemek. Ty se psaly v prvních zhruba 15-20 minutách téměř každého cvičení (na prvním a posledním cvičení ne). Navíc je možnost písemkové příklady odevzdat i kdykoli později, za polovinu bodů. To se týká i těch, kteří na cvičení nepřijdou - zadání písemek najdete níže. U velikonoční písemky (29.3.) se body na polovinu nestrhávaly ani při pozdějším odevzdání. Změny oproti minulému semestru: Za úlohy odevzdané později lze získat body pouze za bezchybné řešení; špatné řešení si lze ale opravit a odevzdat znovu. Můžete odevzdávat i úlohy, které jste odevzdali v písemce; výsledné bodové hodnocení takové úlohy je maximum z bodů získaných za řešení v písemce a bodů za řešení odevzdané později. (Například pokud za písemkový příklad dostanete alespoň polovinu bodů, odevzdáním tohoto příkladu později již více bodů získat nemůžete.)
Body šlo doplnit na náhradních příkladech. Za každou písemku plus její náhradní domácí úlohy lze v součtu získat maximálně 6 bodů (kdo například napsal 1. písemku na plný počet 6 bodů, nemůže za náhradní úlohy ke 1. písemce získat žádné další body; kdo ji odevzdal později a také na plný počet 6/2=3 bodů, může za náhradní úlohy získat další 3 body). Body nad tuto hranici se nepočítají. Náhradní úkoly za stejnotematické písemky jsou sloučeny (jako třeba u 2. a 3. písemky). V tom případě lze za takto sloučené písemky plus nahrádní úlohy dohromady získat až 6k bodů, kde k je počet sloučených písemek.
Zadání písemek:
1.3.
8.3.
15.3.
22.3.
29.3.
5.4.
12.4.
19.4.
26.4.
3.5.
10.5.
17.5.
Kdo na cvičení nebyl, řeší variantu A; kdo byl, řeší zadání, které dostal.
Odevzdávat můžete i elektronicky - pokud možno v pdf (většina textových editorů export do pdf umí); oskenované je možno i v jpg; nebo, pokud to charakter úlohy dovoluje, i v čistém textu.
Vřele doporučuji naučit se LaTeX
(jak si ho nainstalovat a začít
použivat), vzorečky pak pěkně vypadají a po troše cviku se v něm píše
snadno a rychle (psaní ručně na papír je ale přecijen většinou rychlejší).
Seznam příkladů, které jsme počítali na cvičeních.
Co jsme probrali:
22.2. Skalární násobení (neplést s násobením skalárem!): úvaha, proč pouze pro vektorové prostory nad R nebo nad C. Příklad skalárního násobení jiného než standardního součtu součinů složek (nad R). Norma vektoru (zejména euklidovská). Úhel mezi vektory: ukázka, že věta cos(alpha) < u,v > = ||u||*||v|| se dá přepsat na kosinovou větu.
1.3. Algoritmus na výpočet vzdálenosti bodu od přímky s využitím skalárního násobení. Gramův-Schmidtův proces na hledání ortonormální báze.
8.3. Projekce bodu do vektorového podprostoru. Nejkratší vzdálenost bodu od podprostoru. Co nejlepší přibližné řešení soustavy Ax=b, kde A má navzájem kolmé sloupce, a zmínka, co dělat, pokud navzájem kolmé sloupce nemá.
15.3. Prostor funkcí na intervalu [0,2 π]: funkce sin(x), cos(x) a konstantní funkce h(x)=1 jsou kolmé. Co nejepší aproximace lineární funkce t(x) = x jako lineární kombinace sin(x), cos(x) a h(x). Tím jsme udělali několik prvních (z nekonečně mnoha) kroků k Fourierově transformaci funkce t. Další kroky by aproximaci zjemňovaly podobně jako na obrázcích dole. Více o Fourierově transformaci se dozvíte na Matematické analýze III nebo zde. Determinanty matic 3 x 3. Permutace: znaménka.
22.3. Permutace: grafické znázornění, cykly, inverze, rozklad na transpozice, skládání, inverze. 29.3. Determinanty komplikovanějších matic. Determinant blokově diagonální matice (lze rozřezat na bloky takové, že bloky mimo diagonálu jsou nulové a bloky na diagonále jsou čtvercové) je součin determinantů bloků. Aplikace determinantů: obsah rovnoběžníka, počet koster.5.4. Zmínka o počítání inverzní matice nad tělesem Zp, máme-li k dispozici program na počítání nad R. Vlastní čísla a vlastní vektory: počítání pro matice 2 x 2 a geometrická interpretace. Vlastnosti: obsahuje-li matice A pouze reálná čísla, pak ke každému vlastnímu číslu lambda je i číslo komplexně sdružené vlastním číslem.
12.4. Další vlastnosti vlastních čísel. Vlastní čísla větších matic: Zmínka, že obecně se počítají špatně (např. neexistuje vzoreček na kořeny polynomu stupně 5 nebo více). Využití věty o součtu a součinu všech vlastních čísel matice: Známe-li všechna vlastní čisla kromě jednoho, snadno dopočítáme to poslední. Vlastní čísla větších matic budeme počítat pouze u "pěkných" matic (např. v blokově diagonálním tvaru).19.4. Podobnost matic. Diagonalizovatelné matice a jejich diagonalizace. Mocnění a odmocňování diagonalizovatelných matic. V posledním příkladě jsem udělal chybu (matice nejsou podobné, i když mají stejný char. polynom) - správně viz seznam příkladů.
26.4. Matice bez druhé odmocniny. Markovovy řetězce: počítání limitního rozložení, bez důkazu, že k němu bude proces konvergovat.
3.5. Počítání limity A^n pro n jdoucí k nekonečnu a z toho důkaz, že Markovův proces z minulého cvičení bude konvergovat. Další využití vlastních čísel: Google PageRank, Gerschgorinovy disky a důsledek: diagonálně dominantní matice jsou regulární (obojí je popsáno ve skriptech Milana Hladíka na konci kapitoly o vlastních číslech).
10.5. Pozitivně definitní matice a krátká zmínka o pozitivně semidefinitních. Choleského rozklad a jeho využití k řešení soustavy rovnic.
17.5. Bilineární a kvadratické formy: maticové vyjádření, pozitivně definitní formy. Na závěr jsem se trochu zamotal v příkladě na převod mezi bázemi; doplněné řešení je na konci seznamu procvičených příkladů.
24.5. Suploval Milan Hladík, pokračování v kvadratických formách.