NMAII057 cvičení Lineární algebry I. v pátek v 14:00 v učebně S7 v Malostranské budově MFF UK, cvičí Mgr. Jiří Šejnoha

cvičení lineární algebry

probrané učivo

  • 1. hodina - 7. 10. 2016: Podmínky zápočtu. Plán cvičení. Lehké představení látky zimního semestru. Literatura. Soustavy lineárních rovnic: příklady, (ne)jednoznačnost řešení či jeho neexistence, geometrická interpretace řešení soustavy - řádková interpretace. Matice: definice, vektor, typ.
      Domácí úkol není. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - 14. 10. 2016: Maticový zápis soustavy lineárních rovnic. Pohádka: vaření čaje. Řádkové úpravy matice - včetně legálních. Odstupňovaný tvar matice REF a RREF. Gaussova eliminace = převod matice do odstupňovaného tvaru + zpětná substituce. Výpočet matic mající jedno řešení, nekonečno řešení a nemající řešení. Hodnost matice. Homogenní matice a nehomogenní matice. Vztah hodnosti matice a počtu řešení.
  • 3. hodina - 21. 10. 2016: Struktura definic. Matice: sčítání, násobení matice skalárem. Nekomutativita násobení matice. Násobení matice vektorem zprava jako sloupcový selektor, zápis soustavy lineárních rovnic pomocí maticového násobení Ax=b, násobení matice vektorem zleva jako řádkový selektor.
  • 4. hodina - 4. 11. 2016: Regulární matice: definice, ekvivaletní definice, součin regulárních matic je regulární matice. Singulární matice. Matice elementárních řádkových úprav a jejich regularita. Invezní matice: definice, výpočet. Příště: Výpočet soustavy lineárních rovnic pomocí invezní matice. (Intuitivně bez definice a vět) Invezní matice jako inverzní lineární zobrazení.
  • 5. hodina - 11. 11. 2016: Vypočet inverzní matice a řešení SLR pomocí výpočtu inverzní matice. Axiomatizace matematických objektů (let´s play a game - popis vlastností) vs. matematický objekt konkrétně - popis konstrukcí. Grupa: definice, příklady (včetně maticového). Příklad grupy: Diherdální gruoa D3 tj. grupa symetrií rovnostranného trojúhelníku v rovině s operací skládání symetriií. Ukázali jsme si příklad grupy kde "nosná" množina není číslo je "jiný" objekt v našem případě symetrie. Pohádka - Barometr.
    • Domácí úkol není.
  • 6. hodina - 18. 11. 2016: Tělesa: definice, příklady, algebraické vybudování matematického objektu. Vybudování tělesa z dvou grup. Algebry a trhání a lepení nožiček broukům. Počítání (řešení SLR pomocí GE a výpočtu inverzní matice) v Zinkovém tělese (zejména Z5). Teorie Zn je těleso když n je p-prvočíslo. Dělení násobením a sčítání, za které Vás doma pochválí.
  • 7. hodina - 25. 11.2016: Vektorové prostory: definice, příklady, klacková algebra vs. geometrizace. Vektorový podprostor a že je VP, průnik VP a lineární obal s příklady LO různých množin vektorů.
  • 8. hodina - 2. 12. 2016: Pokračování vektorvých podprostorů. Lineární závislost a lineární závislost, neexistence, jednoznačnost a nejednoznačnost vyjádření vektoru vůči generůtorům daného VP. Báze: množina vektrorů generuje podprostor, nejmenší množina vektorů generující daný podprostor - báze.
    • Zadán domácí úkol diagram: k vytvoření diagramu použijte jeden z následujících programů: orgpad (Firefox či Chrom) či draw.io. Při zpracování Vašeho diagramu zkuste psát Vaše pochopení látky (klidně i s osobními poznámkami - pokud si ji nebudete úvahou jistí, nevadí, podiváme se a ní, buď bude dobře, či ji vylepšíme nebo opravíme), nikoliv univerzální učebnicové (a že jich je) uspořádání. Jako vzor můžete použít pochopení lineární algebry Pavla Klavíka, ale doporučuji nejdříve zkusit zaznamenat své pochopení a následně se inspirovat. Nepište jen "pojmy" bez vysvětlení či definování. Půjdete více cestou tvoření a pochopení a méně "kopírování" (byť: Kraď jako úmělec ). V případě orgpadu jde o experimantální nástroj v "alfa/beta" verzi vývoje - dejte si pozor na ukádání, ať se vám nestratí data. Uložené diagramy mi zašlete.
  • 9. hodina - 9. 12. 2016:
      Lineární nezávislost ve VP funkcí. Báze matic, polynomů. Vybrání, doplnění a rozšíření báze - Steinitzova věta. Maticové podprostory jejich báze a dimenze. Elementární řádkové úpravy a (ne)změna řádkového a sloupcového prostoru.
    • Domácí úkol č. 7. Možno vypočítat oba příklady, počet udělených bodů bude maximum z obou.
    • Vzorová písemka Milana Hladíka - pokud byste si chtěli započítat/inspirovat/připravovat na zkousku.
  • 10. hodina - 16. 12. 2016: Linenární zobrazení: definice, příklady lineárního zobrazení (rotace, škálování, projekce na osu). Lineární rozbrazení definované: axiomaticky, maticí, lineární zobrazení jako homomorfismus na VP. Pro každé lineární zobrazení existuje matice lineárního zobrazení a na opak.
  • 11. hodina - 23. 12. 2016: Lineární zobrazení pokračování. Přiklady lineárních zobrazení a rozhodování, které zobrazení na VP je lineární. Výpočet matice lineárního zobrazení z definice.
  • 12. hodina - 6. 1. 2016: Výpočet matice lineárního zobrazení z definice. Vypočet matice přechodu. Skládání lineárních zobrazení. Izomorfismus a vztah matic přechodu. Vypočet lineárního zobrazení z obrazu vzoru FX=Y.
  • 13. hodina - 13. 1. 2016: Plán: Pokračování izomorfismu - Věta o izomorfismu. Příklady izomorfismů: matice typu mx n na vektor délky mn, polynomi stupmě n na R na (n+1). Ověření, že zobrazení je izomorfismus. Opravy domácích ukolů.

počty získaných bodů

podmínky udělení zápočtu

Budou uvedeny dle domluvy na prvním cvičení.

Zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky.

Standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován.

Podmínky:

  1. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení. Začíná se na 2. cvičení a následně pravidelně ob jedno cvičení. Na posledním cvičení se test nepíše; na poslední hodině cvičení bude udělován zápočet
    • písemná práce se skládá z:
      • teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
      • kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
    • každá písemná práce je na 7 bodů
  2. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
    • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady a dva povinné úkoly: 1. „strukturální diagram“ a 2. „článek“
    • domácí úkol odevzdat do 3 týdnů po zadání, ne však později nežli poslední hodinu cvičení v semestru, poslední úkol bude zadán předposlední hodinu cvičení nebo dříve
    • domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (v rozumných případech emailem - ve formátu: v případě scanu jpg, v případě textu docx, odt či pdf, případě diagramu ve vhodném formátu programu - upřesním na hodině)
    • odevzdaný domácí úkol musí být čitelný, rozumně strukturovaný, s uvedenou identifikací studenta a domácího úkolu
    • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
    • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, nikoliv plné řešení problému či plky; neboť problém může být značně komplexní
    • každý domácí úkol je na 7 bodů

    • Domácí úkol strukturální diagram
      • Formou strukturálního diagramu spracujete jednu z kapitol: vektorový prostor či lineární robrazení
      • Detaily budou upřesněny v průběhu semestru (předpokládá se někdy okolo poloviny semestru, na zadání budete dopředu upozorněni) a zveřejněny zde na stránce
      • Diagram mi každý z Vás osobně předvede, vysvětlí okomentuje, mohuse doptávat (+-10 minut na diagram). Na termínu se domluvíme: nabízí se termíny po cvičení (doporučuji), zápočtový týden, zkouškové.
    • Domácí úkol článek
      • v průběhu semestru budou na cvičení odkázány a stránce cvičení zveřejněny (odhaduji 3; minimálně však 2) články na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude si vybrat libovolný článek (v době zadání jednoho článku nemusíte znát další) a napsat na něj poučení (rozmyslete si jak se liší poučení od úvahy eseje apod.).
      • Pozor: pokud si vybere článek, je na jeho zpracování 14 dní (tj. na jednom cvičení se zadá, a nejpozdějí objedno cvičení se odevzdá). Po opravení se na dalším cvičení budeme Vašimi texty (anonymě) zabývat.
      • Forma jako u domácího úkolu.

  3. bonusové body (nejsou započítány do základu, z nějž se vypočítává limitních 60% bodů pro udělení zápočtu)
    • k bodům za malé písemné práce lze získat bonusové body na cvičení - zpravidla za spočítání netriviálního příkladu
    • těchto bodů není za semestr mnoho - max. 1-2 příklady na jednom cvičení (po +-3 bodech každý příklad)

při nedostatku bodů ze cvičení

  • Je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů.
  • V případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena.
  • Nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém obodobí, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru. (Termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky.)

literatura