NMAI057 cvičení Lineární algebry I. cvičí Mgr. Jiří Šejnoha

školní rok 2017/2018; cvičení se konají v pondělí v 14:00 a v 17:20 v učebně S7 v budově na Malostranském náměstí

cvičení lineární algebry

probrané učivo

Pondělí 14:00

  • 1. hodina - 2. 10. 2017: (cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky zimního semestru. Rozdíl škálování vektoru reálným a komplexním číslem.
    • Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - TEST - 9. 10. 2017: Soustavy lineárních rovnic: příklady, co je to řešení soustavy rovnic - (ne)jednoznačnost řešení či jeho neexistence. Geometrická řádková interpretace řešení SLR - řádková interpretace. Matice: definice, vektor, typ matice, matice vs. reálná matice. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic. Pohádka: vaření čaje. Gaussova eliminace = převod matice do odstupňovaného tvaru + zpětná substituce. Řádkové úpravy matice - včetně legálních.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 3. hodina - 16.10.2017: REF a RREF. Gaussova eliminace a příklady: jedno řešení, nemající řešení a nekonečno řešení. Hodnost matice. Homogenní matice a nehomogenní matice. Vztah hodnosti matice a počtu řešení. Sloupcová interpretace řešení SLR.
  • 4. hodina - TEST - 23.10.2017: Struktura definice. Matice a operace s maticemi. Maticové násobení. Nekomutativita maticového násobení. Násobení matice vektorem z prava jako sloupcový selektor a násobení matice vektorem z leva jako řádkový selektor. Matice elementárních řákových úprav. Reprezentace SLR pomocí maticového násobení Ax=b a sloupcová interpretace řešení SLR při zápisu Ax=b.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 5. hodina - 30.10.2017: Regulární, singulární a kouzelná matice: definice, příklady, ověření regularity. Homogenní reálná SLR a její řešení - právě jedno a to nulový vektor a nebo nekonečno včtně nulového vektoru. Inverní matice: definice, jednotková matice, výpočet inverzních matic, intuitivně inverzní matice jako inverzní rozbrazení (existujeli) pro zobrazení: x -> Ax čili x -> b. Řešení SLR Ax=b pomocí inverzní matice - hledání vzoru. Vlastnosti inverzních matic.
    • Domácí úkol č. 2.0 termín odevzdání do 13. 11. 2017.
    • Domácí úkol č. 2.1 termín odevzdání do 13. 11. 2017
    • Byť jsouu zadány dva soubory, jedná se o jeden zadaný úkol. Jen máte více příkladů, které můžete spočítat (jak za domácí úkol, tak třeba cvičně). Maximální počet získatelných bodů úkolu je 7, nezávisle na tom, kolik a za kolik bodů spočítáte a odvzdáte.
  • 6. hodina - TEST - 6.11.2017: Matematické objekty zadané: a) konkrétně - konstrukcí, b) abstraktně - vlatnostmi. Grupy: rozebrání definice (relace vs. zobrazení vs. operace), axiomy. Příklad diherální grupy D3 - ověření axiomů, uzavřenosti, multiplikativní tabulka, nekomutativita operace grupy: "počítání s něčím jiným nežli s čísly". Pojetí: množina + struktura (co je to ta struktura na množině?).
    • Domácí úkol není zadán.
  • 7. hodina - 13.11.2017: Opakování grupy. Pojem podstruktury a definice podgrupy. Příklady podgrup, podrupy dihedrální grupy D3. Operace nejen binární (ternální, obecně n-arní, unární, nulární,), arita. Algebraizace a algebry. Vybudování tělesa z dvou grup. Algebry a trhání a lepení nožiček broukům. Těleso: definice, těleso jako zobecnění reálních čísel s operacemi i jako algebra. Konečné Zn těleso. Počítání v Zn řešení SLR pomocí GE a inverzní matice.
  • 8. hodina - TEST - 20.11.2017: Věta Zn je těleso právě tehdy když n je p-prvočíslo. Tělesa: definice (zopakování), řešení SLR pomocí GE nad různými tělesy. Dělení násobením a sčítání, za které Vás doma pochválí. Malá Fernetova věta a příklady na ni.
  • 9. hodina - 27.11.2017: Oprava domácího úkolu č. 2. Zadání domácího úkolu typ diagram. Vektorové prostory: definice, příklady, konkrétní vektorový prostor aritmetických vektorů na tělesem reálných čísel vs. abstraktní definice. Vektorový podprostor a podstruktura. Věta: průnik VP je VP včetně rozubrání si důkazu - co ověřujeme u VP? Lineární obal průnikem podprostorů i přes lineární kombinaci. Lineární kombinace.
    • Domácí úkol typ strukturální diagram: v programu orgpad vytvořte strukturální diagram jedné z kapitol: a) vektorové prostory či b) lineární zobrazení. Termín odevzdání: do zápočtu. Způsob odevzdání: uložený diagram mi zašlete na email.
      Několik poznámek:
      • inspirace (ve starší experimentální verzi oprgpadu) zde
      • vrcholy mohou mít několik úrovní (typicky název myšlenky či pár slovy o co jde v první úrovní, v nižší důkaz definice, Váš popis, o co jde)
      • zvolte přiměřenou míru práce a detailu - nejde o přepsání skript, ale o vaše rozmyšlení/pochopení souvislostí (rozhodně více nežli o ladění technických či typografických detailů)
      • na druhou stranu diagram musí být vysvětlující tak, aby i vaši kolegové porozuměli, jak látce rozumíte vy
      • nejprve si zkuste uložení a načtení
      • v editoru lze psát latexem, po uzavření okna se kód přeloží (MathJax)
      • ne opravdu se nejedná o mindmapu
  • 10. hodina - TEST - 4.12.2017: Příklady na vektorové prostory: různé typy lineárního obalu a generátorů; vyjádření vektorů na množině generátorů: mající jedno řešení, mající nekonečně řešení, nemající řešení; lineární nezávislost vektoru na množině vektorů a nezávislost množiny vektorů; vztah nezávislosti a rešení homogenní SLR.
  • 11. hodina - 11.12.2017: Pokračování příkladů na VP: báze definice, příklady, dimenze, různé báze téhož VP, Steinitzova věta, rozšíření na bázi, Kernel matice, jeho výpočet, určení dimenze a báze.
    Do písemky si zopakujte/rozhodněte/dokažte, že Ker(A) je/není VP.
    • Domácí úkol č. 4.0 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
    • Domácí úkol č. 4.1 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
    • Domácí úkol č. 4.2 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
    • Domácí úkol č. 4.3 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
  • 12. hodina - TEST - 18.12.2017:
  • 13. hodina - 8.1.2018:

Pondělí 17:20

  • 1. hodina - 2. 10. 2017: (cvičení se konalo ještě před první přednáškou) Podmínky zápočtu, literatura. Plán cvičení. Lehké představení látky zimního semestru. Rozdíl škálování vektoru reálným a komplexním číslem.
    • Domácí úkol není zadán. Zato Vás příště čeká první malý test na cvičení.
  • 2. hodina - TEST - 9. 10. 2017: Soustavy lineárních rovnic: příklady, co je to řešení soustavy rovnic - (ne)jednoznačnost řešení či jeho neexistence. Geometrická řádková interpretace řešení SLR - řádková interpretace. Matice: definice, vektor, typ matice, matice vs. reálná matice. Maticový zápis soustavy lineárních rovnic. Pohádka: vaření čaje. Gaussova eliminace = převod matice do odstupňovaného tvaru + zpětná substituce. Řádkové úpravy matice - včetně legálních.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 3. hodina - 16.10.2017: REF a RREF. Gaussova eliminace a příklady: jedno řešení, nemající řešení a nekonečno řešení. Hodnost matice. Homogenní matice a nehomogenní matice. Vztah hodnosti matice a počtu řešení. Sloupcová interpretace řešení SLR.
  • 4. hodina - TEST - 23.10.2017: Struktura definice. Matice a operace s maticemi. Maticové násobení. Nekomutativita maticového násobení. Násobení matice vektorem z prava jako sloupcový selektor a násobení matice vektorem z leva jako řádkový selektor. Matice elementárních řákových úprav. Reprezentace SLR pomocí maticového násobení Ax=b a sloupcová interpretace řešení SLR při zápisu Ax=b.
    • Domácí úkol není zadán.
  • 5. hodina - 30.10.2017: Regulární, singulární a kouzelná matice: definice, příklady, ověření regularity. Homogenní reálná SLR a její řešení - právě jedno a to nulový vektor a nebo nekonečno včtně nulového vektoru. Inverní matice: definice, jednotková matice, výpočet inverzních matic, intuitivně inverzní matice jako inverzní rozbrazení (existujeli) pro zobrazení: x -> Ax čili x -> b. Řešení SLR Ax=b pomocí inverzní matice - hledání vzoru. Vlastnosti inverzních matic.
  • 6. hodina - TEST - 6.11.2017: Matematické objekty zadané: a) konkrétně - konstrukcí, b) abstraktně - vlatnostmi. Grupy: rozebrání definice (relace vs. zobrazení vs. operace), axiomy. Příklad diherální grupy D3 - ověření axiomů, uzavřenosti, multiplikativní tabulka, nekomutativita operace grupy; "počítání s něčím jiným nežli s čísly". Pojetí: množina + struktura (co je to ta struktura na množině?).
  • 7. hodina - 13.11.2017: Opakování grupy. Pojem podstruktury a definice podgrupy. Příklady podgrup, podrupy dihedrální grupy D3. Operace nejen binární (ternální, obecně n-arní, unární, nulární,), arita. Algebraizace a algebry. Vybudování tělesa z dvou grup. Algebry a trhání a lepení nožiček broukům. Těleso: definice, těleso jako zobecnění reálních čísel s operacemi i jako algebra. Konečné Zn těleso. Počítání v Zn řešení SLR pomocí GE a inverzní matice.
  • 8. hodina - TEST - 20.11.2017: Věta Zn je těleso právě tehdy když n je p-prvočíslo. Tělesa: definice (zopakování), řešení SLR pomocí GE nad různými tělesy. Dělení násobením a sčítání, za které Vás doma pochválí. Malá Fernetova věta a příklady na ni.
  • 9. hodina - 27.11.2017: Oprava domácího úkolu č. 2. Zadání domácího úkolu typ diagram. Vektorové prostory: definice, příklady, konkrétní vektorový prostor aritmetických vektorů na tělesem reálných čísel vs. abstraktní definice. Vektorový podprostor a podstruktura. Věta: průnik VP je VP včetně rozubrání si důkazu - co ověřujeme u VP? Lineární obal průnikem podprostorů i přes lineární kombinaci. Lineární kombinace.
    • Domácí úkol typ strukturální diagram: v programu orgpad vytvořte strukturální diagram jedné z kapitol: a) vektorové prostory či b) lineární zobrazení. Termín odevzdání: do zápočtu. Způsob odevzdání: uložený diagram mi zašlete na email.
      Několik poznámek:
      • inspirace (ve starší experimentální verzi oprgpadu) zde
      • vrcholy mohou mít několik úrovní (typicky název myšlenky či pár slovy o co jde v první úrovní, v nižší důkaz definice, Váš popis, o co jde)
      • zvolte přiměřenou míru práce a detailu - nejde o přepsání skript, ale o vaše rozmyšlení/pochopení souvislostí (rozhodně více nežli o ladění technických či typografických detailů)
      • na druhou stranu diagram musí být vysvětlující tak, aby i vaši kolegové porozuměli, jak látce rozumíte vy
      • nejprve si zkuste uložení a načtení
      • v editoru lze psát latexem, po uzavření okna se kód přeloží (MathJax)
      • ne opravdu se nejedná o mindmapu
  • 10. hodina - TEST - 4.12.2017: Příklady na vektorové prostory: různé typy lineárního obalu a generátorů; vyjádření vektorů na množině generátorů: mající jedno řešení, mající nekonečně řešení, nemající řešení; lineární nezávislost vektoru na množině vektorů a nezávislost množiny vektorů; vztah nezávislosti a rešení homogenní SLR.
  • 11. hodina - 11.12.2017: Suploval Jarda Horáček - Kernel a příklady na VP, bázi apod.
    Do písemky si zopakujte/rozhodněte/dokažte, že Ker(A) je/není VP.
    • Domácí úkol č. 4.0 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
    • Domácí úkol č. 4.1 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
    • Domácí úkol č. 4.2 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
    • Domácí úkol č. 4.3 termín odevzdání do 5. 1. 2018 do 23:23:23; za úkoly 4.x je třeba mít dohromady 14 bodů
  • 12. hodina - TEST - 18.12.2017:
  • 13. hodina - 8.1.2018:

počty získaných bodů

pondělí 14:00

pondělí 17:20

podmínky udělení zápočtu

zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky

standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

Podmínky:

  1. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení. začíná se na 2. cvičení a následně pravidelně ob jedno cvičení. Na posledním cvičení se test nepíše
    • písemná práce se skládá z:
      1. teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
      2. kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
    • každá písemná práce je na 7 bodů
  2. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly a splnit dva povinné úkoly: 1. „strukturální diagram“ a 2. „článek“
    • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady
    • domácí úkol odevzdat do 2 týdnů po zadání, ne však později nežli poslední hodinu cvičení v semestru, poslední úkol bude zadán předposlední hodinu cvičení nebo dříve
    • domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (v rozumných případech emailem - ve formátu: v případě scanu jpg, v případě textu docx, odt či pdf, případě diagramu ve vhodném formátu programu - upřesním na hodině)
    • odevzdaný domácí úkol musí být čitelný, rozumně strukturovaný, s uvedenou identifikací studenta a domácího úkolu
    • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
    • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní
    • každý domácí úkol je na 7 bodů
    • domácí úkol strukturální diagram
      • formou strukturálního diagramu zpracujete jednu z kapitol: vektorové prostory či vlastní lineární zobrazení
      • diagram mi každý z Vás osobně předvede, vysvětlí okomentuje, mohu se doptávat (+-10 minut na diagram). na termínu se domluvíme: nabízí se termíny po cvičení (doporučuji), během týdne individuálně (doporučuji) zápočtový týden (nedoporučuji), zkouškové (nedoporučuji).
      • přihlaste se mi (na cvičení či emailem) až budete chtít odevzdat diagram
      • diagram vypracujte v jednom z programů (doporučení: nejprve si zkuste save/load nežli začnete něco dělat a práci si průběžně zálohujte):
        • Orgpad v2
        • Orgpad v1
        • pouze v případě, že byste si s programy zásadně nerozuměly - můžete digram zpracovat i na papír - velikosti minimálně A3
    • domácí úkol článek
      • v průběhu semestru budou na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.).
  3. bonusové body (nejsou započítány do základu, z nějž se vypočítává limitních 60% bodů pro udělení zápočtu)
    • k bodům za malé písemné práce lze získat bonusové body na cvičení - zpravidla za spočítání netriviálního příkladu
    • těchto bodů není za semestr mnoho - max. 1-2 příklady na jednom cvičení (po +-3 bodech každý příklad)

při nedostatku bodů ze cvičení

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena.
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém období, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru. (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)

literatura