NMAII058 cvičení Lineární algebry II. ve středu v 14:00 v učebně T8, cvičí Mgr. Jiří Šejnoha

cvičení lineární algebry

probrané učivo

  • 1. hodina - 22. 2. 2017: Cvičení suploval Pavel Klavík: Přehled letního semestru.
    • Domácí úkol: není zadán
  • 2. hodina - 1. 3. 2017: Podmínky získání zápočtu. Plán cvičení a lehké představení letního semestru. Rozšíření struktury vektorového prostoru a skalární součin. Zavedení matematického objektu konkrétně a axiomaticky. Skalární součin, pythagorova věta a kolmost vektorů. Norma definice a norma indukovaná skalárním součinem. Domácí úkol není zadán.
    • Domácí úkol: nebyl zadán.
  • 3. hodina - 8. 3. 2017: Norma: pokračování, p-normy. Příklady na na standardní a nestandardní skalární součin. Kolmost jako relace. Úvod do projekcí. . Ortogonální a ortonomální vektory: definice. Motivace.
    • Domácí úkol č. 1. Termín odevzdání do 22. 3. 2017. (nejpozdějí na začátku cvičení). Poznámka: na následujícícm cvičení uděláme ještě jeden důkaz C-S nerovnosti, ale pro úkol není potřeba.
  • 4. hodina - 15. 3. 2017: Ortogonalizace/ortonormalizace množiny vektorů. Vypočítali jsme ortogonalizaci z definice kolmosti.
    • Domácí úkol nebyl zadán.
  • 5. hodina - 22. 3. 2017: Dokončení ortogonalizace, pokračovali jsme příkladem z minula: vypočet G-S algoritem ze skript (pomocí fourierových koeficientů). Ortogonalizace lineárně zavislé množiny. Výpočet ortogonální projekce vektoru do podprostoru. Ortogonální doplněk množiny a prostroru. Definice, výpočet z definice a pomocí kernelu matice. Kolmost fundamentálních prostorů matice R(A) a Ker(A). (domácí úkol: hodnocení max. z odevzdaných + 1 bod za každý spočítaný (alespoň z půlky, lepší je více) )
  • 6. hodina - 29. 3. 2017: Projekce a ortogonální projekce. Definice, vztah kolmosti a minimality chyby (rozdílu vektoru a jeho projekce do podprostoru). Nepracovali jsme s ortogonální projekcí již dříve? Vypočet projekce pomocí ortonomální báze. Projekce v Rn a výpočet matice projekce a projekce do sloupcového prostoru matice a metoda nejmenších čtverců. Příklady na matice ortogonální projekce. Přehled výpočtu projekcí: přes báze a maticí. Ortogonální matice: definice, vlastnosti, součin matice je ortogonální matice, zachování úhlů a délek při zobrazení ortogonální maticí. Konstrukce ortogonální matice: řádky i sloupce tvoří ortonormální bázi. Ortogonální matice zachovávají úhly a délky.
    • Domácí úkol nebyl zadán.
  • 7. hodina - 5. 4. 2017: Determinant: co to je determinant? Definice. Výpočty determinantů a) z definice pro matice typu 2x2, 3x3 a trojújhelníkové b) převodem matice na trojúhelníkový tvar a vztah elementárních řákových úprav matice k determinantu. Řádková linearita determinantu. (domácí úkol: hodnocení maximum z jednotlivého úkolu přes všechny odevzdané + 1 bod za každý spočítaný (alespoň z půlky, lepší je více))
  • 8. hodina - 12. 4. 2017: Výpočet determinantu matice rozvojem řádku či sloupce. Cramerovo pravidlo pro výpočet soustavy lineárních rovnic a jeho geometrická interpretace.
    • Domácí úkol nebyl zadán.
  • 9. hodina - 19. 5. 2017: Úvodu do vlastních čísel a vlastních vektorů: definice, výpočet - přes determiant (a speciání případy např. trojúhelníková matice), charakteristický polynom, geometrická interpretace a rozdíl vlastních vektorů a čísel nad tělesem reálných čisel vs. komplexních, složitost výpočtu a matice společnice.
    • Domácí úkol nebyl zadán.
  • 10. hodina - 26. 5. 2017: Diagonalizovatelnost matice, geometrická interpretace diagonalizovatelnosti - hledání "dobré báze", nediagonalizovatelné matice, kritéria diagonalizovatelnosti (jedno ekvivaletní a jedno jako implikace). Výpočty na téma diagonální matice, (ne)jednoznačnost diagonálního tvaru. Jordanův tvar matice. Mocniny matice a funkce matice. (domácí úkol: hodnocení maximum z jednotlivého úkolu přes všechny odevzdané + 1 bod za každý spočítaný (alespoň z půlky, lepší je více))

počty získaných bodů

podmínky udělení zápočtu

domluveno na druhém cvičení

zápočet je udělen studentovi/studentce, který/á přesvědčí, že probírané látce rozumí (zná ji i vyzná se v ní) - teoreticky i prakticky

standardní způsob získání zápočtu je uveden níže. Jen ve velmi rozumných a odůvodněných případech (nemoc, apod.) lze získat zápočet jiným, nežli standardním způsobem - princip, že student musí přesvědčit, že probírané látce rozumí, zůstává zachován

Podmínky:

  1. získat alespoň 60% bodů za písemné práce, které jsou psány na začátku hodiny jedenkráte za 2 cvičení. Začíná se na 4. cvičení (písemka na 2. cvičení byla bonusová) a následně pravidelně ob jedno cvičení. Na posledním cvičení se test nepíše; na poslední hodině cvičení bude udělován zápočet
    • písemná práce se skládá z:
      • teoretické/teoretických otázky/otázek (typicky definice či věta) z odpřednesených přednášek (nemusí být probrány na cvičení)
      • kombinace lehčích a středně těžkých příkladů (již procvičené či blízké odcvičeným na cvičení)
    • každá písemná práce je na 7 bodů
  2. získat alespoň 60% bodů za domácí úkoly
    • domácí úkoly jsou zpravidla početní či teoretické příklady a dva povinné úkoly: 1. „strukturální diagram“ a 2. „článek“
    • domácí úkol odevzdat do 2 týdnů po zadání, ne však později nežli poslední hodinu cvičení v semestru, poslední úkol bude zadán předposlední hodinu cvičení nebo dříve
    • domácí úkoly lze odevzdávat průběžně a každém cvičení na papíře (v rozumných případech emailem - ve formátu: v případě scanu jpg, v případě textu docx, odt či pdf, případě diagramu ve vhodném formátu programu - upřesním na hodině)
    • odevzdaný domácí úkol musí být čitelný, rozumně strukturovaný, s uvedenou identifikací studenta a domácího úkolu
    • svůj postup úvah a výpočtu komentujte a vysvětlujte - cílem domácího úkolu není spočítat zadaný příklad, primárně je cílem se naučit a procvičit danou látku a sekundárně mě přesvědčit, že zadanému tématu rozumíte pro udělení zápočtu
    • domácí úkol nemusí být jasně zadaný numerický úkol ale i úkol typu „zpracujte danou úlohu“, přičemž Vaším řešením bude řada podložených úvah na dané téma, (nikoliv plné řešení problému či plky); neboť problém může být značně komplexní
    • každý domácí úkol je na 7 bodů

    • domácí úkol strukturální diagram
      • formou strukturálního diagramu spracujete jednu z kapitol: skalární součin či vlastní čísla a vlastní vektory
      • diagram mi každý z Vás osobně předvede, vysvětlí okomentuje, mohu se doptávat (+-10 minut na diagram). na termínu se domluvíme: nabízí se termíny po cvičení (doporučuji), během týdne individuálně (doporučuji) zápočtový týden (nedoporučuji), zkouškové (nedoporučuji).
      • přihlaste se mi (na cvičení či emailem) až budete chtít odvezdat diagram
      • Diagram vypracujte v jednom z programů (doporučení: nejprve si zkuste save/load nežli začnete něco dělat a práci si průběžně zálohujte) :
        • Orgpad v2
        • Orgpad v1
        • pouze v případě, že byste si s programy zásadně nerozuměly - můžete digram zpracovat i na papír - velikosti minimálně A3
    • domácí úkol článek
      • v průběhu semestru budou na cvičení odkázán a stránce cvičení zveřejněn článek na téma okolo matematiky/výuky/vzdělání a Vašim úkolem bude napsat na článek poučení (rozmyslete si, jak se liší poučení od úvahy, eseje apod.).
        • kapitola „Intuice a Logika v Matematice“ z knihy Číslo – prostor – čas od Henriho Poincarého
        • článek „Filosofická logika?“ od Jardy Peregrína [1] [2]
        • článek „All the Math Taught at University Can Be Outsourced. What Now?“ od Dr. Keitha Devlina, Stanford University
        • TEDovské video „Jak velcí vůdci inspirují k akci“ od Simona Sinka - tuto 3. variantu berte jako záchranou, klidně si ji shlédněte, ale jako článek reději zpracujte jednu z dvou přechozích možností

  3. bonusové body (nejsou započítány do základu, z nějž se vypočítává limitních 60% bodů pro udělení zápočtu)
    • k bodům za malé písemné práce lze získat bonusové body na cvičení - zpravidla za spočítání netriviálního příkladu
    • těchto bodů není za semestr mnoho - max. 1-2 příklady na jednom cvičení (po +-3 bodech každý příklad)

při nedostatku bodů ze cvičení

  • je možno si nahradit dvě písemné práce, které jste nepsali, nebo ty, z kterých máte nejméně bodů
  • v případě více nepsaných prací nebo rovnosti bodů více psaných prací vyberu práci/probíranou látku, která bude nahrazena.
  • nahrazování probíhá v zápočtovém týdnu či ve zkouškovém obodobí, výjimečně po vzájemné domluvě během semestru. (termín ve zkouškovém období nedoporučuji, věnujte čas raději přípravám na zkoušky)

literatura