Matematika++

Informace k přednášce Matematika++, LS 2016/2017

Ida Kantorová, Robert Šámal, Martin Tancer

Varování: 4.4. nebude přednáška (kvůli Jarní škole kombinatoriky).

Rozsah

Dvě hodiny přednášky a dvě hodiny cvičení týdně (2/2). Zápočet, zkouška.

Termín

Přednáška úterý od 15:40 v S4, cvičení občasná (bude oznámeno a domluveno na první přednášce).

Náplň

V moderní informatice se často používají matematické nástroje, které překračují rozsah matematických přednášek v bakalářském programu informatiky. V této přednášce se posluchači seznámí s poněkud zhuštěnými základy některých matematických odvětví, které se pro informatiku a diskrétní matematiku ukázaly zvlášť významné. Zde pro představu minulou přednášku na stejné téma.

Předpoklady

Zájem o matematiku, matematické znalosti zhruba v rozsahu informatického bakalářského studia na MFF UK. Navazovat budeme hlavně na analýzu, pravděpodobnost a lineární algebru. Letos se zaměříme na Fourierovy řady a transformace, polynomy ve více proměnných a reprezentace grup.

Cvičení

Podstatná část cvičení bude spočívat v samostatné domácí práci posluchačů. Zápočet bude za vyřešení dostatečného množství příkladů. Cvičení vedou Radek Hušek a Vojtěch Kaluža.

Literatura

Většina probíraných témat je v knize I. Kantor, J. Matoušek, R. Šámal: Mathematics++ (měla by být v knihovně v dostatečném počtu). Pokud ne, ozvěte se. Další prameny pro první část přednášky:

Probraná témata

1. přednáška 28.2.2017
Diskrétní Fourierova transformace = převod funkcí definovaných na konečné abelově grupě do šikovné báze. Definice charakterů a jejich vlastnosti. Podle knížky kapitola 3.1.
2. přednáška 7.3.2017
Fourierova transformace, definice. Inverzní Fourierova transformace. Základní vlastnosti: Plancherelova a Parsevalova věta. Aplikace: testování linearity booleovské funkce. Kapitoly 3.2 a 3.3.1 podle knihy.
3. přednáška 14.3.2017
Aritmetické posloupnosti v $\mathbb Z_3^n$. Konvoluce (zatím jenom definice a lemma o násobení Fourierových koeficientů vzhledem ke konvoluci). Kapitoly 3.3.2 a 3.4 podle knihy.
4. přednáška 21.3.2017
Násobení polynomů pomocí konvoluce. KKL věta (důkaz jen velmi hrubý nástin; neočekává se, že se ho budete učit podrobně). Součet charakterů přes podgrupu a Poissonova sumační formule. Kapitoly 3.4, 3.5 a 3.6 z knihy (pouze velmi stručně).
5. přednáška 28.3.2017
Charaktery, a Fourierova transformace v nekonečných grupách. Popis $\hat{\mathbb Z}$, $\hat{\mathbb R}$ a $\hat{\mathbb T}$. Dále Fourierova analýza pro $\mathbb T$, tedy analýza 1-periodických funkcí. Inverzní Fourierova transformace - Fourierova řada. Fourierova řada pro reálnou 1-periodickou funkci (převod z komplexní exponenciely na siny a kosiny). Konvergence Fourierovy řady: Dirichletova a Fejérova věta. Fourierův koeficient derivace.
4.4. přednáška není