Pravidelná každoroční přednáška,
co bylo dříve lze nalézt
zde.
Sylabus
a anotace jsou v SISu. K
přednášce jsem napsal
učební text
v angličtině,
zde jsou k němu
opravy a doplňky.
Přednáška se koná ve středu od 12:20 na chodbě KAM (Malá Strana, 2. patro).
Literatura - skoro vše, co
přednáším, lze nalézt v klasické knize
G.
H. Hardy & E. M. Wright: An
Introduction to the Theory of Numbers.
Zkouška je ústní s
písemnou přípravou. Zkušební termíny: po domluvě, v pracovně. Zkušební otázky: 1a.
Dirichletova věta o diof. aproximacích a její
aplikace.
1b. Existence transcendentních
čísel: Liouvilleova
nerovnost.
1c. Důkaz transcendence čísla e.
2a. Fermatova poslední věta pro n=2 a n=4.
2b. Teorie Pellovy
rovnice.
2c. Lagrangeova věta o 4 čtvercích, aritmetický dukaz.
3. Minkowského
věta a její aplikace (geometrický důkaz věty o čtyřech čtvercích).
4a.
Důkaz, že prvočíselná funkce pi(x) = o(x), pomocí nerovnosti prod_{p
< x}(1 -
p^{-1})^{-1} > sum_{n < x} n^{-1}, a důkaz, že sum_{p < x} (log p) / p = log x +
O(1).
4b. Čebyševovy odhady
prvočíselné funkce pi(x).
4c.
Spec. případ Dirichletovy věty o prvočíslech v aritmetické posloupnosti
pro modul 4: dokažte, že sum_{p = 1 + 4n < x} (log p) / p =
(log x) / 2 +
O(1) i sum_{p = 3 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 +
O(1);
důkaz je sepsán zde.
5. Teorie kvadratických
zbytků včetně zákona
reciprocity.
6a. Dokažte Eulerovu pentagonální identitu.
6b. Dokažte, že všechna čísla p(4), p(9), p(14), p(19), p(24), ... jsou dělitelná pěti (p(n) je počet rozkladů čísla n).
1. přednáška 10. 10. 2012. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova
věta: 1. Pro každé reálné alfa a
celé Q > 1 existuje zlomek p/q splňující 1 < q < Q a |alfa -
p/q| =< 1/qQ. 2. Pro iracionální alfa existuje nekonečně mnoho
zlomků p/q, že |alfa - p/q| < 1/q^2 . Důkaz přihrádkovým principem a
pomocí Fareyových zlomků. Aplikace: Fermatova-Eulerova věta o 2
čtvercích. Příště: základní vlastnost Fareyových zlomků - dva sousední
mají nejmenší možnou vzdálenost - a Hurwitzova věta.
Úlohy. 1. Pro racionální alfa část 2 Dirichletovy věty neplatí.
2. Jak se pomocí Fareyových zlomků dostane nekonečně mnoho dirichletovských aproximací?
3. Jeden ze dvou sousedních Fareyových zlomků svírajících číslo alfa splňuje dokonce |alfa - p/q| < 1/2q^2.
4. Tři sousední Fareyovy zlomky a/b < c/d < e/f splňují (a + e)/(b + f) = c/d.
2. přednáška 17. 10. 2012. (Cauchyův)
důkaz základní vlastnosti Fareyových zlomků. Hurwitzova věta: pro
iracionální alfa má nerovnost | alfa - p/q| < 5^{-1/2}q^{-2}
nekonečně mnoho racionálních řešení p/q, ale po jakémkoli zmenšení
konstanty 5^{-1/2} to už neplatí. Definice řetězového zlomku reálného
čísla, řetězové rozvoje čísel e a pi. Je otevřeným problém
dokázat, že členy řetězového rozvoje čísla 2^{1/3} jsou neomezené.
Úloha: dokažte, že zlatý řez má řetězový zlomek [1,1,1,1,1,1,...].
3. přednáška 24. 10. 2012. Liouvilleova
nerovnost: je-li a algebraické číslo stupně n > 1 a p / q je zlomek,
pak | a - p / q | >> 1 / q^n, kde implicitní konstanta závisí
pouze na a.
Úlohy: a) je-li a
takové iracionální reálné číslo, že pro každé n existuje zlomek p / q s
q > 1, že | a - p / q | < 1 / q^n, potom je a transcendentní; b)
číslo 0.10100100000010...24 nul ... 010...120 nul...010... je
transcendentní. Hermiteho věta: číslo e je transcendentní, Hilbertův
důkaz.
4. přednáška 31. 10. 2012. 2. Diofantické rovnice. Tři
známé a již vyřešené problémy o diofantických rovnicích: Desátý
Hilbertův problém (algoritmická rozhodnutelnost existence řešení),
Poslední Fermatova věta (x^n + y^n = z^n nemá řešení v N pro n
> 2) a Catalanova domněnka (jediné řešení rovnice x^a - y^b = 1 v N
\ {1} je 3^2 - 2^3 = 1). Popis pythagorejských trojic, tj.
řešení rovnice x^2 + y^2 = z^2 v celých číslech. Fermatova věta:
x^4 + y^4 = z^2 nemá v N řešení. Pellova rovnice: x^2 - dy^2 = 1, kde d
je z N \ {1, 4, 9, 16, ...}. Zatím jsme si pouze dokázali, že jedno
netriviální řešení (různé od +-1, 0) generuje nekonečně mnoho řešení.
5. přednáška 7. 11. 2012. Teorie
Pellovy rovnice: má vždy netriviální řešení, zobecněná Pellova
rovnice x^2 - dy^2 = m má buď žádné nebo nekonečně mnoho řešení a
(kladná) řešení Pellovy rovnice tvoří nekonečnou cyklickou grupu.
Lagrangeova věta o 4 čtvercích, zatím Eulerova čtyřčtvercová identita a
lemma o řešení kongruence 1 + a^2 + b^2 = 0 (mod p).
6. přednáška 14. 11. 2012. Dokončení aritmetického důkazu Lagrangeovy věty o 4 čtvercích.
3. Geometrie čísel. Mřížka
v R^n, základní rovnoběžník, jeho posuny vektory mřížky rozkládají R^n,
nezávislost jeho objemu na volbě báze. Minkowskiho věta o konvexním
tělese (středově souměrné konvexní těleso B s objemem > 2^n krát
objem mřížky L nutně obsahuje vektor z L různý od počátku). Geometrický
důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích pomocí M. věty: zatím jsme
si řekli, jak v R^4 volit B a L, dokončíme to příště. Závěrem
zmatená poznámka o největším objemu d-rozměrné koule. Správně to je
následovně. Objem koule s poloměrem 1 je pi^k / k! v dimenzi 2k a
2^{k+1}pi^k / (2k + 1)!! v dimenzi 2k + 1. Pro dimenzi jdoucí do
nekonečna to jde (překvapivě?) k 0, takže se někde nabývá maximum, což
se ukazuje být dimenze 5.
7. přednáška 21. 11. 2012. Dokončení důkazu věty o 4 čtvercích pomocí Minkowskiho věty o konvexním tělese.
4. Prvočísla. Čtyři
důkazy nekonečnosti počtu prvočísel: Euklidův (vynásob všechna
prvočísla a přičti 1), Goldbachův (čísla 2^{2^i} + 1 jsou po dvou
nesoudělná), Furstenbergův-Cassův-Wildenbergův (pomocí periodických
podmnožin v Z) a Sylvestrův-Eulerův (pomocí nerovnosti prod_{p<x}(1
- 1 / p)^{-1}) > sum_{n<x} 1 / n). Začátek důkazu, že ze
S.-E. nerovnosti plyne také, že pi(x) = o(x), ale zasekli jsme se na
vzorci pro Eulerovu funkci fi(n): fi(n) = počet přir. čísel
nepřesahujících n a nesoudělných s n = (1 - 1 / p_1)...(1 - 1 / p_k)n,
kde p_i jsou prvočinitele n.
8. přednáška 28. 11. 2012. Tvrzení:
pi(x) = o(x), důkaz pomocí vzorce pro fi(n) a S.-E. nerovnosti. Tvrzení
(Čebyševovy odhady): c_1x / log x < pi(x) < c_2x / log x, důkaz
pomocí prvočíselných rozkladů binomického koeficientu B(2n, n).
První Mertensova formule: sum_{p < x} (log p) / p = log x +
O(1), dokončení důkazu příště.
9. přednáška 5. 12. 2012. Dokončení
důkazu asymptotiky sumy sum_{p < x} (log p) / p = log x +
O(1). Dirichletova věta (1837): pro každá dvě nesoudělná přirozená
čísla a, m obsahuje aritmetická posloupnost a, a + m, a + 2m, ...
nekonečně mnoho prvočísel, bez důkazu. Dokázali jsme si ale speciální
případ m = 4, tedy že existuje nekonečně mnoho prvočísel tvaru 1+ 4n i
3 + 4n, a to modifikací Euklidova argumentu. Větička: oba typy
prvočísel p = 1 + 4n a p = 3 + 4n se vyskytují zhruba stejně často v
tom smyslu, že platí sum_{p = 1 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2
+
O(1) i sum_{p = 3 + 4n < x} (log p) / p = (log x) / 2 +
O(1), důkaz - tento důkaz lze rozšířit na obecný případ a dokázat jím
Dirichletovu větu ve tvaru sum_{p = a + mn < x} (log p) / p = (log
x) / fi(m) +
O(1).
Zde je důkaz Větičky, který není v
mém hořejším učebním textu.
10. přednáška 12. 12. 2012. 5. Kongruence. Kvadratické (ne)zbytky.
Definice, Legendreův symbol a jeho vlastnosti: Eulerovo kritérium, multiplikativita. Hodnoty (-1
/ p). Gaussovo lemma, hodnoty (2 / p). Zákon kvadratické reciprocity. Suma S(a, b) a důkaz reciprocity S(a, b) + S(b,
a) = (a - 1)(b - 1) / 4). Dokončení důkazu zákona kvadratické reciprocity příště.
11. přednáška 19. 12. 2012. Dokončení důkazu zákona kvadratické reciprocity.
6. Číselné rozklady. Kompozice
a číselné rozklady. Kompozic čísla n s k částmi je B(n-1, k-1) a všech
je 2^{n-1}. Eulerova identita pro generující funkci počtů rozkladů
p(n): 1 + p(1)x + p(2)x^2 + ... = (1 - x)^{-1}(1 - x^2)^{-1}(1 -
x^3)^{-1} .... Formulace Eulerovy pentagonální identity: 1) (1 - x)(1 -
x^2)(1 - x^3) ... = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - ..., jinými slovy 2) p(n)
= p(n - 1) + p(n - 2) - p(n - 5) - p(n - 7) + ... a ještě jinými
slovy 3) p_{rs}(n) - p_{rl}(n) = 0 pro nepentagonální n a = (-1)^m,
když je n = (m^2 +- 3m) / 2 (pentagonální n). Důkaz příště.
12. přednáška 3. 1. 2013. Důkaz Eulerovy pentagonální identity ve tvaru 3). Dokážeme si následující Ramanujanův výsledek.
Tvrzení: počet číselných rozkladů p(5m + 4) je dělitelný 5 pro každé m = 0, 1, 2, ... . K důkazu budeme potřebovat
Jacobiho třísoučinovou identitu
(s dvěma proměnnými x a z): prod_{n=1}^{oo}(1 - x^{2n})*(1 + x^{2n -
1}z)*(1 + x^{2n - 1}z^{-1}) = sum_{n=-oo}^{oo} x^{n^2}z^n. Důkaz pomocí
Ferrersových diagramů bude příště. Zatím jsme z ní (skoro, až na mou
hloupou chybu) odvodili
trojúhelníkovou identitu:
prod_{n=1}^{oo}(1 - x^n)^3 = sum_{n=0}^{oo}(-1)^n*(2n + 1)*x^{n(n +
1)/2} (exponenty n(n + 1)/ jsou trojúhelníková čísla, levá strana je
třetí mocnina součinu z Eulerovy pentagonální identity). Dokončení
důkazu příště. (Má chyba spočívala ve špatné substituci -xz^2 za z v
JTI ve třetím činiteli (1 + x^{2n - 1}z^{-1}), kdy správně vyjde
(1 - x^{2n - 2}z^{-2}) a nikoli (1 - x^{2n}z^{-2}).) Tento důkaz je
popsán na str. 8-16 v
Kaleidoskopu teorie čísel (7. kapitola) (1. kongruence ve Větě 224).
13. přednáška 9. 1. 2013. Dokončení
důkazu Ramanujanovy kongruence p(5m + 4) = 0 (mod 5). Wrightův důkaz
Jacobiho třísoučinové identity pomocí Ferrersových diagramů.
leden 2013