Informace o přednášce Úvod do teorie čísel (MAI040


Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. středa od 12:20 v S7.

Literatura. Skoro vše, co přednáším, lze nalézt v knize G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. K přednášce existuje učební text  (v angličtině), zde jsou k němu opravy. 

Zkouška. Jedna zkušební otázka z následujících. 1a. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace. 1b. Hurwitzova věta  o diof. aproximacích.  1c. Existence transc. čísel (Liouvilleova nerovnost). 1d.  Transcendence čísla e. 2a.  Teorie Pellovy rovnice. 2b. Pythagorejské trojice a Thueho rovnice. 3a. Minkowského věta a její aplikace. 4a. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce. 4b. Mertensovy odhady sum a součinu obsahujících prvočísla. 4c. Hardyova-Ramanujanova věta o normálním řádu funkcí  omega(n) a Omega(n). 5a. Zákon reciprocity kvadratických zbytků. 6a. Eulerova pentagonální identita pro číselné rozklady.

1. př. 10. 10. 2007. 1. Diofantické aproximace. Dirichletova věta o diof. aproximacích a její aplikace ve větě o dvou čtvercích. Fareyovy zlomky a jejich hlavní vlastnosti.

2. př. 17. 10. 2007. Hurwitzova věta (optimální konstanta 51/2 ve jmenovateli v Dirichletově aproximaci). Algebraická a transcendentní čísla, Liouvilleova nerovnost. Číslo e je transcendentní, začátek důkazu.

3. př. 24. 10. 2007. Dokončení  důkazu transcendence čísla e. (Nechť e splňuje rovnici a(0) + a(1)e + ... + a(n)en s celočíselnými koeficienty a(i), přičemž a(0) není nula. Nechť p(x) je reálný polynom, jako I(k) označíme integrál funkce p(x)e-x přes interval [0,k] a jako S(k) součet hodnot derivací všech řádů polynomu p(x) v bodě k. Opakovaná integrace per partes dává identitu a(0)I(0) + a(1)eI(1) + ... + a(n)enI(n) = - a(0)S(0) - a(1)S(1) - ... - a(n)S(n). Položíme p(x) = xr - 1(x - 1)r (x - 2)r  ... (x - n)r  / (r-1)!. Pro r jdoucí do nekonečna jde LS identity k nule. Je-li r prvočíslo větší než n i |a(0)|, je PS identity celé číslo, které není dělitelné r, takže je nenulové a v absolutní hodnotě alespoň 1. Ale LS = PS, dostáváme spor.) Informativně o Rothově větě a Gelfondově-Schneiderově větě. Důkaz, že součet, součin a podíl algebraických čísel je algebraické číslo.

4. př. 31. 10. 2007. 2. Diofantické rovnice. Tři známé i méně známé (bývalé) problémy o diofantických rovnicích: 10. Hilbertův problém, Fermatova poslední věta, Catalanova domněnka. Vzorce pro pythagorejské trojice, aritmetické a geometrické odvození. Pellova rovnice x2 - dy2 = 1, netriviální řešení generuje nekonečně mnoho řešení.

5. př. 7. 11. 2007. Pellova rovnice: existence netriviálního řešení a struktura množiny všech řešení. Zobecněná Pellova rovnice. Thueho rovnice.

6. př. 14. 11. 2007. 3. Geometrie čísel. Mřížky, objem mřížky. Minkowského věta o konvexním tělese, její aplikace v důkazu věty o 4 čtvercích.

7. př. 21. 11. 2007.  Přednáška odpadla pro účast přednášejícího na workshopu.

 8. př. 28. 11. 2007. 4. Prvočísla. Základní věta aritmetiky, v Z[(-5)1/2] neplatí. Čtyři důkazy nekonečnosti počtu prvočísel (Euklides, Goldbach, Erdos, Euler). Nerovnost 1 / (1- 1/2)(1 - 1/3) ... (1 - 1/p) > log x (součin přes prvočísla nepřesahující x) a její tři důsledky: 1. Je nekonečně mnoho prvočísel. 2. 1/2 +  1/3 + 1/5 + ... +1/p > loglog x - c (součet přes prvočísla nepřesahující x). 3. Prvočíselná funkce pi(x) (= počet prvočísel nepřesahujících x) je o(x). Čebyševova věta o pi(x), začátek důkazu.

 9. př. 5. 12. 2007. Čebyševova věta o pi(x): cx/log x < pi(x) < dx/log x.  Mertensovy odhady:  asymptotika sum log 2/2 +  log 3/3 + log 5/5 + ... +log p/p,  1/2 +  1/3 + 1/5 + ... +1/p a součinu (1- 1/2)(1 - 1/3) (1 - 1/5) ... (1 - 1/p).

10. př. 12. 12. 2007. Abelova sumace, dokončení důkazu asymptotiky sumy 1/2 +  1/3 + 1/5 + ... +1/p . Průměrný řád a normální řád aritmetické funkce. Průměrné řády funkcí r2(n), d(n), omega(n) a Omega(n) (bez důkazů). Věta Hardyho a Ramanujana: normální řád funkcí omega(n) a Omega(n) je loglog(n), začátek důkazu.

11. př. 19. 12. 2007. Dokončení důkazu. Informativně o nových objevech o prvočíslech po r. 2000: polynomiální AKS algoritmus pro prvočíselnost, Greenova-Taova věta (existují libovolně dlouhé aritm. posloupnosti z prvočísel) a Goldstonova-Yildirimova-Pintzova věta (lim inf (q - p) / log p = 0, kde p < q jsou dvě po sobě jdoucí prvočísla.  5. Kongruence. Teorie kvadratických zbytků a nezbytků.  Legendreův symbol. Eulerovo kritérium. Formulace zákona reciprocity. DOMÁCÍ ÚLOHA: protože příští přednáška 2.1. odpadá kvůli zimním prázdninám, nastudujte si prosím samostatně důkaz zákona kvadratické reciprocity z mého učebního textu.

 12. př. 9. 1. 2008. 6. Číselné rozklady. Rozklady a kompozice čísla n. Rekurence pro počet rozkladů p(n) čísla n a Eulerova pentagonální identita. Rekurence pro sigma(n) = součet dělitelů čísla n.

leden 2008