Informace o přednášce Úvod do teorie čísel (MAI040


Sylabus a anotace. Viz SIS.

Doba a místo. středa od 15:40 v S3.

Literatura. Skoro vše, co přednáším, lze nalézt v knize G. H. Hardy, E. M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. K přednášce existuje učební text  (v angličtině), zde jsou k němu opravy . 

Zkouška. Bude doplněno.

Přehled
přednášek.
1. př. 11. 10. 2006. 1. Diofantické aproximace.
Dirichletova věta o diof. aproximacích, její aplikace ve větě o dvou čtvercích, Fareyovy zlomky a jejich hlavní vlastnost (dokončení důkazu příště).

2. př. 18. 10. 2006. Dokončení důkazu věty o Fareyových zlomcích. Hurwitzova věta. Liouvilleova čísla a Liouvilleova nerovnost.

3. př. 25. 10. 2006. Hilbertův důkaz transcendence čísla e.

4. př. 1. 11. 2006. 2. Diofantické rovnice. Úvod: FPV, 10. Hilbertův problém, Catalanova domněnka. Teorie Pellovy rovnice.

5. př. 8. 11. 2006.  Teorie Pellovy rovnice. Lagrangeova věta o 4 čtvercích.

6. př. 15. 11. 2006.  FPV pro exponenty 2 a  4. FPV pro polynomy (důsledek Stothersovy-Masonovy věty), abc domněnka.

7. př. 22. 11. 2006. 3 Geometrie čísel.  Mřížky, Fareyovy zlomky pomocí mřížek. Minkowskiho věta a geometrický důkaz Lagrangeovy věty o 4 čtvercích.

8. př. 29. 11. 2006. Problém dělitelů a kruhový problém. 4. Prvočísla. Euklidův a Goldbachův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel. Fermatova prvočísla a problém dělení kruhu.

9. př. 6. 12. 2006. Erdosův důkaz  a Eulerův důkaz nekonečnosti počtu prvočísel. Z nerovnosti  prod_{p <= x} 1/(1 - 1/p)  >=  sum_{n<=x} 1/n plyne (i) nekonečnost počtu prvočísel, (ii) horní odhad pi(x) = o(x) a (iii) divergence řady sum_p 1/p. Čebyševovy odhady prvočíselné funkce.

10. př. 13. 12. 2006.  Mertensovy formule. Průměrné řády funkcí omega(n) a Omega(n). Hardyho-Ramanujanova věta o jejich normálním řádu, bez důkazu. Normální řád funkce d(n).

11. př. 20. 12. 2006.  5. Kongruence. Teorie kvadratických zbytků. Důkaz kvadratického zákona reciprocity.

12. př. 3. 1. 2007. 6. Číselné rozklady. Rozklady a kompozice čísel. Vzorce pro počty kompozic. Eulerova pentagonální identita.

13. př. 10. 1. 2007. Uvedení Hardyho-Ramanujanovy-Rademacherovy formule pro p(n), bez důkazu. Důkaz horního odhadu
                                                                        p(n) < (pi/(6n-6)^{1/2}).exp(pi(2n/3)^{1/2}).
Rekurence pro sigma(n) (součet dělitelů n) a pentagonální identita. Eulerova identita "počet rozkladů n na liché části je stejný jako počet rozkladů na různé části" a její tři důkazy (generujícími funkcemi, bijekcí a inkluzí-exkluzí).



leden 2007