Vyuka - Martin Klazar

1. přednáška 9. 10. 2012. Obsah přednášky. ABC domněnka, implikuje asymptotickou FPV. Stothersova - Masonova věta (ABC domněnka pro polynomy): jsou-li a, b c nesoudělné a ne všechny konstantní polynomy z C[t], které splňují vztah a + b = c, pak jejich stupně jsou nejvýše r(abc) - 1, kde r(p) je počet různých kořenů polynomu p. Důkaz. Odvození FPV pro polynomy. Příště dokončím důkaz toho, že epsilon a konstanta M jsou v ABC domněnce potřeba.

2. přednáška 16. 10. 2012. ABC domněnka pro čísla: pokud a + b = c, kde a, b, c > 0 jsou nesoudělná celá čísla, potom c < M.r(abc)^{1 + ep}, kde ep > 0 a M = M(ep) je konstanta; r(n) je radikál čísla n = součin prvočísel dělících n. My jsme si pouze pomocí řešení Pellovy rovnice x^2 - 2y^2 = 1 dokázali, že ep v exponentu a závislost M na ep jsou nutné. Viz informace na Wikipedii, kde je i link na údajný důkaz abc domněnky od S. Mochizukiho. Odmocniny z 1 a kruhové polynomy. Definice kruhového polynomu a základní vlastnosti. První aplikace: pro každé m je nekonečně mnoho prvočísel tvaru 1 + mn.

3. přednáška 23. 10. 2012. Druhá aplikace: Wedderburnova (či Wedderburnova-Dicksonova) věta: konečná nekomutativní tělesa neexistují; důkaz, v němž se v závěru objeví kruhové polynomy. Ještě poznámka k předešlé první aplikaci: stačí dokázat, že pro každé m je alespoň jedno prvočíslo tvaru 1 + mn.

4. přednáška 30. 10. 2012. Třetí aplikace: Gaussova věta: je-li n = 2^m + 1 prvočíslo, dá se pravidelný n-úhelník sestrojit pravítkem a kružítkem. Nejprve jsem dokázal, že každé prvočíslo p má primitivní kořen g, tj. multiplikativní grupa (Z_p \ {0}, .) je cyklická, generovaná jediným prvkem g. Na Z_p \ {0} tedy máme funkci indexu vzhledem ke g: ind(n) = i, že g^i = n (mod p), i je jednoznačné (mod p - 1). Pak, za pomoci Eisensteinova kritéria (jež jsem rovněž dokázal), jsem ukázal, že pro každé prvočíslo p je polynom x^p + x^{p-1} + ... + x + 1 ireducibilní v Z[x] (ekvivalentně, díky Gaussovu lemmatu, v Q[x]). Pro prvočíslo p > 2, faktorizaci p - 1 = ef a danou primitivní p-tou odmocninu z jedné zeta (a daný primitivní kořen g) jsem zavedl Gaussovy periody eta_j = sum_n zeta^n (f sčítanců), sčítáno přes ty n = 1, 2, ..., p-1, že ind(n) = j (mod e). Každý celočíselný polynom p(zeta) v zeta má jednoznačné vyjádření p(zeta) = a_1.zeta + a_2.zeta^2 + ... +a_{p - 1}.zeta^{p - 1}, kde a_i jsou celá čísla. Dokončení důkazu Gaussovy věty příště.

5. přednáška 6. 11. 2012. Dokončení důkazu Gaussovy věty. Dokážeme: Je-li p = 2^k +1 prvočíslo, potom každá perioda eta odpovídající děliteli e = 2^r, r = 1, 2, ..., k, čísla p - 1 je kořenem kvadratického polynomu, jehož koeficienty jsou celočíselné lineární kombinace period odpovídajících děliteli e = 2^{r-1} (pro e = 1 bereme jako jedinou periodu -1, tj. obě periody pro e = 2 jsou kvadratické iracionality) a všechny periody až do předposlední úrovně r = k-1 jsou reálná čísla. To dává pro k = 2, 4, 8 a 16 euklidovskou konstruovatelnost úsečky délky cos(2pi / p) = (zeta + zeta^{p-1}) / 2 = (eta_1 + eta_{p-1}) / 2 (zde e = 2^k) a tedy i strany pravidelného p-úhelníka. Euklidovská konstruovatelnost pravidelného 3-úhelníka takto neplyne, ale je zřejmá jinou cestou.

6. přednáška 13. 11. 2012. Čtvrtá aplikace: Speciální případ Weilovy věty: polynomiální kongruence F(x_1, ..., x_n) = a_1x_1^{r_1} + ... + a_nx_n^{r_n} = 0 (mod p), kde a_i jsou celá čísla nedělitelná p a exponenty r_i jsou přirozená čísla, má p^{n - 1} + O(p^{n - 3 / 2}) řešení; konstanta v O(.) závisí jen na exponentech r_i a prvočíslo p jde do nekonečna. Přesněji, pomocí počítání s odmocninami z 1 jsme absolutní hodnotu chyby odhadli pomocí (p - 1).p^{n / 2 - 1}.(d_1 - 1)...(d_n - 1), kde d_i je největší společný dělitel r_i a p - 1. Pro n = 3 to dává weilovský exponent n - 3 / 2 a pro n > 3 mnohem lepší odhad. Zbývá nám ale ještě dokázat, že Gaussova suma sum_{x = 1}^p chi(x).zeta^{ax}, kde chi je charakter mod p různý od hlavního, a je celé číslo nedělitelné p a zeta je primitivní p-tá odmocnina z 1, je v absolutní hodnotě rovna p^{1 / 2}.

7. přednáška 20. 11. 2012. Důkaz, že | sum_{x = 1}^p chi(x).zeta^{ax} | = p^{1/2}. Hasseho věta - jiný speciální případ Weilovy věty. Hasse v r. 1934 (mimo jiné) dokázal, že kongruence y^2 = ax^3 + bx^2 + cx + d mod p (a, b, c a d jsou daná celá čísla, a je nenulové) má p + O(p^{1/2}) řešení. Začal jsem vykládat důkaz podle knihy Baker-Wüstholz, Logarithmic Forms and Diophantine Geometry, kde v podkapitole 1.6 zabírá cca 1.5 strany - mně to vyšlo asi na trojnásobek. Zbývá nám dokončení: jak zvolit J a L a závěrečný odhad n pomocí stupně polynomu fi a veličiny L.

8. přednáška 27. 11. 2012. Dokončení a rekapitulace důkazu Hasseho věty. Chevalleyho-Warningova věta: Počet řešení soustavy polynomiálních rovnic nad konečným tělesem s p^k prvky je násobek p (za předpokladu, že součet stupňů je menší než počet neznámých), důkaz příště. Aplikace v teorii grafů: každý multigraf (bez smyček, ale s povolenými násobnými hranami) vzniklý ze 4-regulárního multigrafu přidáním hrany obsahuje (neprázdný) 3-regulární podmultigraf.

9. přednáška 4. 12. 2012. Důkaz Chevalleyho-Warningovy věty. Další aplikace: mezi každými 2n - 1 celými čísly je součet nějakých n z nich dělitelný číslem n (věta Erdosova-Ginzburgova-Zivova). Alonova kombinatorická věta o nulách: Je-li P(x_1, ..., x_n) nenulový polynom s koeficienty v tělese F a x_1^{k_1}...x_n^{k_n} je jeho monom maximálního stupně s nenulovým koeficientem, potom pro každou n-tici množin A_i v F, kde A_i má alespoň k_i + 1 prvků, existují prvky a_i z A_i, že P(a_1, ..., a_n) není nula. Aplikace: minimální počet nadrovin v R^n, které pokrývají všechny vrcholy jednotkové krychle až na jediný, je n. Důkaz Alonovy věty indukcí podle stupně polynomu P.

10. přednáška 11. 12. 2012. Skolemova-Mahlerova-Lechova věta o nulách v rekurentních posloupnostech. SML věta (Skolem 1934, Mahler 1935 a Lech 1953) praví: Je-li (a_n) = (a_0, a_1, ...) rekurentní posloupnost v poli F charakteristiky 0 (tj. je daná lineární rekurencí a_n = c_1a_{n-1} + ... + c_ka_{n-k}, kde c_i jsou konstanty z F a c_k není nula), pak existuje modul m tak, že pro každý zbytek i z {0, 1, ..., m-1} je podposloupnost a_{i+ml}, l = 0, 1, ..., buď identicky nulová nebo obsahuje pouze konečně mnoho nul. Dokážeme si ji pouze pro těleso zlomků F = Q. Zatím jsme dokázali: (i) búno jsou a_n i c_1, ..., c_k celá čísla a (ii) je-li p libovolné prvočíslo nedělící c_k, pak existuje modul m, že pro každý zbytek i z {0, 1, ..., m-1} existují celá čísla b_0, b_1, ... tak, že a_{i+ml} = b_0 + B(l, 1)pb_1 + B(l, 2)p^2b_2 + ... + B(l, l)p^lb_l pro každé l = 0, 1, 2, ... (zde B(., .) jsou binomické koeficienty). Zbývá dokázat toto tvrzení: je-li p > 2 prvočíslo a b_0, b_1, ... jsou celá čísla, ne všechna nulová, potom má binomická rovnice b_0 + B(l, 1)pb_1 + B(l, 2)p^2b_2 + ... + B(l, l)p^lb_l = 0 jen konečně mnoho řešení l v {0, 1, 2, ...}.

11. přednáška 18. 12. 2012 Rekapitulace důkazu. Skolemův systém (pro prvočíslo p): je posloupnost polynomiálních kongruencí p_j(x) = 0 (mod p^{i_j}), j = 0, 1, ..., kde p_j jsou polynomy s p-celými racionálními koeficienty (koeficienty jsou zlomky se jmenovateli nedělitelnými p) splňující podmínku koherence (p_j(x) je mod p^{i_j} týž jako p_{j+1}(x)) a exponenty i_0, i_1, ... jsou neklesající (nezáporná celá čísla) a jdou do nekonečna. Řešení S. systému je každý p-celý zlomek splňující každou z jeho kongruencí a stupeň S. systému je stupeň první nenulové redukce (tj. stupeň prvního nenulového polynomu q_j(x), kde q_j(x) je mod p^{i_j} redukce p_j(x)), pokud taková redukce existuje (jinak je S. systém nulový a každý p-celý zlomek je jeho řešení). Tvrzení. Každý nenulový S. systém stupně d má nejvýše d řešení. To si dokážeme na příští přednášce, zatím jsme si ukázali, jak z tohoto tvrzení plyne, že ta binomická (netriviální) rovnice má konečně mnoho řešení, což dokazuje SML větu.

12. přednáška 8. 1. 2013. Důkaz Tvrzení o počtu řešení Skolemova systému, jde o variaci na důkaz klasického horního odhadu počtu kořenů polynomu. Poznámky k SML větě.

leden 2013

Informace o přednášce Algebraická teorie čísel (NDMI066)