Literatura. K Dirichletově větě, hlavně Erdosovu argumentu:
Analytic and Combinatorial Number Theory II, KAM-DIMATIA Series preprint no.
969
(2010), iv + 46 pages. Důkaz Dirichletovy věty jsem sepsal i v:
Analytic and Combinatorial Number Theory I, KAM-DIMATIA Series preprint no.
968
(2010), v + 92 pages.
přednáška 7. 3. 2011. Přehled tří výše zmíněných výsledků, kterými se budeme zabývat na přednášce.
1. Dirichletova věta o prvočíslech v aritmetické posloupnosti. Důkazy
speciálních případů pro prvočísla tvaru p = 4n - 1 a p = qn + 1, kde q
je prvočíslo (pomocí lematu, že nenulové hodnoty polynomu 1 + x + x^2 +
... + x^{q - 1} v celých číslech, jako u každého celočíselného a
nekonstantní polynomu, jsou dělitelné nekonečně mnoha prvočísly).
Začátek
Erdosova argumentu, že Dirichletova věta platí pro takové
moduly m (a každé a nesoudělné s m), že 1/p_1 + ... +1/p_h, součet
převrácených hodnot prvočísel menších než m a nedělících m, je menší
než 1: definice výrazu Q_n(a, m).
přednáška 14. 3. 2011. Erdosuv
argument. Zbyva jeste dokazat toto: je-li P_n(a, m) = (a + m)(a +
2m)...(a + nm) / n!, kde 0 < a < m jsou nesoudelna cela cisla, n
> m a n je delitelne kazdym z prvocisel p_1, ..., p_h (ktera jsou
jako vyse) a p > ((n + 1)m)^{1/2} je prvocislo delici P_n(a, m) a
nekongruentni a modulo m, potom p deli i P_{n / p_i}(q_i, m) pro nejake
i, kde cisla 0 < q_i < m jsou dana vztahem q_ip_i = a modulo
m.
přednáška 21. 3. 2011. Dokončení Erdosova argumentu.
Analytický důkaz Dirichletova věty. První
Mertensova formule: sum_{p<x} (log p)/p = log x + O(1), připomenutí
důkazu později. Dirichletovu větu dokážeme ve tvaru:
sum_{p<x, p=a mod m} (log p)/p = (log x)/phi(m) + O(1). Charaktery a
Dirichletovy charaktery konečných Abelových grup a jejich ortogonální
relace, důkaz později. Dokážeme, že pro každý netriviální Dirichletův
charakter chi(.) modulo m je součet řady L(1, chi) = chi(1)/1 +
chi(2)/2 + ... nenulový a odvodíme odtud, že sum_{p<x} (chi(p)log
p)/p = O(1). Z posledního tvrzení už Dirichletova věta lehce plyne
pomocí ortogonality charakterů, jak jsme si ukázali. Připomenutí a
důkaz Abelovy nerovnosti - jsou-li a_1, a_2, ..., a_k komplexní čísla a
b_1 >= b_2 >= ... >= b_k >= 0 reálná čísla, pak |a_1b_1 +
a_2b_2 + ... + a_kb_k| <= Ab_1, kde A je maximum z |a_1|, |a_1 +
a_2|, ... , |a_1 + a_2 + ... + a_k| - jež je v těchto odhadech
klíčová.
přednáška 28. 3. 2011. Co
zbývá dokázat: 1. První Mertensova formule. 2. Implikace L(1, chi) není
0 => sum_{p<x} (chi(p)log p)/p = O(1). 3. L(1, chi) není 0. 4.
Existence a vlastnosti charakterů. Dokázali jsme si 1 a 2 a začali jsme
4, konkrétně zbývá dokončit důkaz tvrzení: Jsou-li G a H konečné
Abelovy grupy, G je podgrupa H a faktorgrupa H/G je cyklická řádu n,
potom každý charakter grupy G má právě n rozšíření na charakter grupy H.
přednáška 4. 4. 2011. Důkaz tvrzení o charakterech Abe
lových
grup. Dokážeme 3, že L(1, chi) není 0. Dirichletovy L-funkce L(s, chi):
L(s, chi_0) konverguje absolutně a lokálně stejnoměrně pro sigma
> 1 a L(s, chi) konverguje lokálně stejnoměrně pro sigma > 0 (to
poslední ještě zbývá dokázat, okamžitě to z Abelovy nerovnosti
neplyne). Eulerův součin pro L(s, chi): L(s, chi) = prod_p (1 -
chi(p) / p^s)^{-1} pro sigma > 1, důkaz. Víceméně formální identita:
součin všech L-funkcí L(s, chi) přes všechny charaktery mod m se rovná
součinu prod_{p, p nedělí m} (1 / (1 - 1 / p^{f(p)s}))^{g(p)}, kde f(p)
je řád p v grupě G(m) a g(p) = |G(m)| / f(p). Tvrzení (rozšíření zeta
funkce z(s)): z(s) - (s - 1)^{-1} má holomorfní rozšíření na sigma >
0, důkaz podrobně příště.
přednáška 11. 4. 2011. Tvrzení:
konverguje-li Dirichletova řada a_1/1^s + a_2/2^s + ... v s_0, potom
pro každé e > 0 tato řada konverguje v polorovině sigma > sigma_0
+ e stejnoměrně. Důsledek: každá Dir. řada má abscisu konvergence
sigma_c a v polorovině konvergence ji můžeme derivovat člen po členu.
Landauova věta: má-li Dir. řada reálné nezáporné koeficienty a konečnou
abscisu konvergence sigma_c, je sigma_c singularitou funkce definované
Dir. řadou. Tvrzení: v sigma > 1platí, že L(s, chi_0) = f(s) / (s -
1), kde f(s) je funkce holomorfní v sigma > 0. Věta: L(1, chi) není
0. Důkaz: podle identity z minulé přednášky je součin všech L(s, chi)
přes všechny Dir. charaktery mod m (formálně) roven Dirichletově řadě
D(s) s nezápornými celočíselnými koeficienty a_n, které jsou pro n
tvaru k^{phi(m)}, (k, m) = 1, kladné. Na jednu stranu tedy má D(s)
abscisu konvergence sigma_c >= 1 / phi(m). Na druhou stranu, kdyby
L(1, chi) = 0 pro alespoň jeden činitel v součinu, zrušil by tento
nulový bod pól 1 / (s - 1) činitele L(s, chi_0), celý součin by byl
holomorfní v sigma > 0 a podle Landauovy věty by abscisa konvergence
řady D(s) byla <= 0, což je spor.
přednáška 18. 4. 2011. Prvočíselná věta. Nechť
mi(n) je Mobiova funkce a L(n) je von Mangoldtova funkce. Důkaz PV má
dvě části: a) implikace mi(1)/1 + mi(2)/2 + mi(3)/3 + ... = 0 => PV
a b) ten předpoklad, že mi(1)/1 + mi(2)/2 + ... + mi(n)/n
konverguje k 0. Dokázali jsme si a), ještě zbývá ze sum_{n<x} L(n) ~
x odvodit PV, tj. pi(x) ~ x/log(x). Důkaz b) příště.
přednáška 2. 5. 2011 (25. 4. 2011 přednáška nebyla, bylo Velikonoční pondělí). Ze
sum_{n<x} L(n) ~
x jsme odvodili pi(x) ~ x/log(x). Dokázali jsme, že zeta(s) je nenulová
na sigma =1. Začátek důkazu Věty (Wiener-Ikehara-Ingham-Newman): Má-li
funkce f(s) = a_1/1^s + a_2/2^2 + ..., daná v polorovině sigma > 1
Dirichletovou řadou s omezenými (ale jinak libovolnými komplexními)
koeficienty a_n, holomorfní rozšíření na uzavřenou polorovinu sigma
>= 1, potom řada a_1/1 + a_2/2 + ... konverguje k hodnotě f(1).
přednáška 9. 5. 2011. Důkaz Věty Wienera-Ikehary-Inghama-Newmana.
Waringův problém. Nechť
r_{s,k}(n) je počet vyjádření čísla n jako součtu s nezáporných k-tých
mocnin. Waringova hypotéza, kterou v r. 1909 dokázal Hilbert, říká, že
pro každé k>1 existuje s, že r_{s,k}(n) > 0 pro každé n. Důkaz,
který si alespoň částečně předvedeme, je založen na dvou výsledcích. 1.
Šnirelmanova věta: Má-li množina nezáporných celých čísel A kladnou
dolní hustotu a obsahuje-li čísla 0 a 1, pak se pro nějaké s
každé nezáporné celé číslo dá nasčítat jako součet s čísel z A.
2. Základní odhad pro r_{s,k}(n): pro každé k>1 existuje s, že
r_{s,k}(n) << n^{s/k - 1}. Odvození Waringovy-Hilbertovy věty z 1
a 2.
přednáška 16. 5. 2011. Důkaz
Šnirelmanovy věty. Pomocná tvrzení pro důkaz Základního odhadu, hlavně
toto: Je-li f(x) reálný polynom stupně k>1, jehož vedoucí koeficient
je nenulové celé číslo a, 0<b<N jsou celá čísla s (a,b) = 1 a ep
> 0, potom sum_{n in I} e(f(n) / b) <<_{k,ep} N^{1 + ep} /
b^{-1 / 2^{k-1}}, kde sčítáme přes libovolný interval celých čísel I
délky N (a e(x) = exp(2pi.ix)).
přednáška 23. 5. 2011.