4. přednáška 22. 3. 2016. Prop. 1.2.2. až Prop. 1.2.3, začátek vlastního důkazu.
5. přednáška 29. 3. 2016. Vlastní důkaz, dokončení.
2. Gelfondova--Schneiderova věta o transcendenci čísel tvaru a^b. Úvod, dostali jsme se před Prop. 3.1.1.
6. přednáška 5. 4. 2016. Prop. 3.1.1 až formulace Prop. 3.1.3, důkaz příště.
7. přednáška 12. 4. 2016. Prop. 3.1.3, důkaz, až Prop. 3.1.7, bez důkazu Prop. 3.1.6.
8. přednáška 19. 4. 2016. Prop. 3.1.6, důkaz, až asi do poloviny vlastního důkazu G.-S. věty.
9. přednáška 26. 4. 2016. Dokončení vlastního důkazu G.-S. věty.
3. zeta(2) = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... = pi^2/6. Dokážeme
tento vzorec (Basilejský problém, vyřešil L. Euler) a pak, že a)
náhodné n<x je bezčtvercové s limitní pravděpodobností 1/zeta(2) a
b) náhodná m, n<x jsou nesoudělná s limitní pravděpodobností
1/zeta(2). Podle
tohoto a
tohoto mého textíku.
10. přednáška 3. 5. 2016. Dokázali
jsme si a) a b) a řekli jsme si identitu 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... +
1/n^2 - pi^2/6 = (1/2pi)*int_0^{pi}f(x)*sin((n+1/2)x)*dx, kde f(x) je
vhodná funkce, spojitá na intervalu [0, pi]. Identitu a to, že pro n
jdoucí do nekonečna jde integrál k 0, dokážeme příště.
11. přednáška 10. 5. 2016. Dokázali jsme si, že int_a^bf(x)*sin((n+1/2)x)*dx --> 0 pro n --> oo pro každou funkci f(x) spojitou na [a, b].
Dokázali
jsme si, že 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... + 1/n^2 - pi^2/6 =
(1/2pi)*int_0^{pi}f(x)*sin((n+1/2)x)*dx pro f(x) = x(x -
2pi)/2sin(x/2).
4. Iracionalita e^{a/b} a pi^2. Řekli
jsme si Tvrzení: Když jsou a, r reálná čísla, a nenulové a r>0, f(x)
reálná funkce splňující na [0, r] dif. rovnici d^2f/dx^2 = a*f a obě
čísla c_1:=r(f(0) + f(r)) a c_2:=(df/dx)(r) - (df/dx)(0) nejsou
současně nulová, potom je alespoň jedno ze čtyř čísel a, c_1, c_2 a r^2
iracionální. Ukázali jsme si, jak odtud plyne iracionalita hodnot
e^{a/b}, a/b je nenulový zlomek, a čísla pi^2. Podle
zase tohoto mého textíku (ovšem zmíněné tvrzení je z článku
Murty, M. Ram; Murty, V. Kumar -
Irrational numbers arising from certain differential equations,
Canad. Math. Bull. 20 (1977), no. 1, 117-120).
12. přednáška 17. 5. 2016. Dokončení důkazu Tvrzení.
5. Iracionalita čísla zeta(3) = 1 + 1/8 + 1/27 + 1/64 + ... . Podle jiného mého textíku . Zbývá nám dokázat L. 36 a 37 a dokončit celý důkaz.
13. přednáška 24. 5. 2016. Důkaz lemmat 36 a 37 a dokončení celého důkazu.
květen 2016